七十二 群馬県富岡市一ノ宮 貫前神社 嘉永2年(1849)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：外円，正五角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
外円の中に 3 個の合同な正五角形を容れる。外円の直径が 10 寸のとき，正五角形の一辺の長さはいかほどか。
問題文では，「円の中に 3 個の正五角形を容れる」と書いているが，3 個ではなく位置と方向を明示すれば「1 個を容れる」だけで十分である。もちろん図のように「10 個を容れる」としてもよいが，それではヒントを与えすぎると考えたのだろうか。
ここでは，青で描いた上部の正五角形について考える。赤で描いた外円の半径と中心座標を \(R, (0, 0)\) とする。正五角形が内接する灰色で描いた円の半径を AB = BD = \(r\) とする。
与えられるのは OA = \(R\)，求めるのは \(x\) = CD である。
∠CBD = 36°，∠COD = 18° である。
BC = \(r \cos(36°)\)
CD = \(r \sin(36°)\) より，\(r\) = CD/\(\sin(36°) = x/sin(36°)\)
OC\(\tan(18°)\) = CD
OA = AB + BC + OC
\(R = r + r \cos(36°) + x/\tan(18°)\)
\(R = x/\sin(36°)*(1 + \cos(36°)) + x/\tan(18°)\)
これを \(x\) について解いて
\(2R\sqrt{35 - 15\sqrt{5}}/(\sqrt{10}\sqrt{5 - 2\sqrt{5}} + 5\sqrt{2}\sqrt{5 - 2\sqrt{5}} + 2\sqrt{5}\sqrt{5 - \sqrt{5}})\) を得る。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R, r, x
eq = x/sind(Sym(36))*(1 + cosd(Sym(36))) + x/tand(Sym(18)) - R;
ans_x = solve(eq, x)[1]
ans_x |> println
2*R*sqrt(35 - 15*sqrt(5))/(sqrt(10)*sqrt(5 - 2*sqrt(5)) + 5*sqrt(2)*sqrt(5 - 2*sqrt(5)) + 2*sqrt(5)*sqrt(5 - sqrt(5)))
SymPy では変数が残っている式は簡約化されにくいという特徴（欠点）を持っているので，\(R\) の係数部分（下記）だけを簡約化する。
ans_x/R |> println
2*sqrt(35 - 15*sqrt(5))/(sqrt(10)*sqrt(5 - 2*sqrt(5)) + 5*sqrt(2)*sqrt(5 - 2*sqrt(5)) + 2*sqrt(5)*sqrt(5 - sqrt(5)))
@syms d
apart(ans_x/R, d) |> simplify |> println
sqrt(25 - 10*sqrt(5))/10
長い式は \(\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}/10\) に簡約化される。
術では \(\sqrt{0.25 - \sqrt{0.05}}\) としているが 1/10 を外側の平方根の中に入れると同じである。
正五角形の一辺の長さ \(2x\) は 外円の半径が \(R\) のとき \(2R\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}/10\) である。
外円の直径が 10 寸のとき，正五角形の一辺の長さは \(\sqrt{25 - 10\sqrt{5}} = 1.6245984811645313\) 寸である。
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(R, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
# x = 2R*sqrt(35 - 15√5)/(√10sqrt(5 - 2√5) + 5√2*sqrt(5 - 2√5) + 2√5*sqrt(5 - √5))
x = R*sqrt(25 - 10√5)/10
r = x/sind(36)
θ = 18:72:378
xa = @. r*cosd(θ)
ya = @. r*sind(θ) + (R - r)
plot([-r*sind(36), 0, r*sind(36), 0], [R - r*(1 + cosd(36)), 0, R - r*(1 + cosd(36)), R - r], color=:gray70, lw=0.5)
circle(0, 0, R, :red)
circle(0, R - r, r, :gray70)
for i = 1:10
plot!(xa, ya, color=:green, lw=1)
(xa, ya) = transform(xa, ya, deg=36)
end
plot!(xa, ya, color=:blue, lw=1)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, R, " A", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, R - r, " B", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, R - r*(1 + cosd(36)), " C", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(r*sind(36), R - r*(1 + cosd(36)), " D", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, 0, " O", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
draw(10/2, true)
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