二十六 群馬県安中市簗瀬 稲荷神社 文化11年(1814)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：正方形，長方形，斜線
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
長方形の中に，斜線 2 本と，大小の正方形 2 個を容れる。2 つの正方形の一辺の長さの積が 15 平方寸，和が 8 寸のとき，長方形の面積が最小になるときの長方形の短辺はいかほどか。
長方形の長辺と短辺の長さを \(a,\ b\)
大きな正方形と小さな正方形の一辺の長さをそれぞれ \(d,\ e;\ d ≦ e\)
2本の斜線の長方形の長辺上での交点座標を \( (c,\ 0)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, b::positive, c::positive,
d::positive, e::positive;
まず，「2 つの正方形の一辺の長さの積が 15 平方寸，和が 8 寸」ということから，正方形の一辺の長さを求める。
eq1 = d*e - 15
eq2 = d + e - 8
res1 = solve([eq1, eq2], (d, e))[1] # 1 of 2
(3, 5)
長方形の一辺の長さは \(d = 3\) 寸と \(e = 5\) 寸である。
これが既知として，残りの条件を列挙するが，独立なのは 2 つだけである。
(d, e) = (3, 5)
eq3 = eq1 = d/(c - d) - b/c
eq4 = (b - d)/d - b/c
eq5 = e/(a - e - c) - b/(a - c)
eq6 = (b - e)/e - b/(a - c);
eq3, eq5 を連立させて，\(a,\ b\) を求める。
res2 = solve([eq3, eq5], (a, b))[1]
(2*c*(c - 15)/(2*c - 15), 3*c/(c - 3))
\(a,\ b\) は \(c\) の関数として表すことができる。
\(a,\ b\) に基づき，長方形の面積 \(a\cdot b\) を計算する。
S = res2[1] * res2[2]
S |> println
6*c^2*(c - 15)/( (c - 3)*(2*c - 15))
\(S\) のグラフを描いてみると，（少なくとも）\(c\) が 3 〜 6 の間で最小値を取りそうだということがわかる。
pyplot(size=(300, 150), grid=false, aspectratio=:none, label="")
plot(S, xlims=(3.1, 7.4), xlabel="c", ylabel="面積")
面積が最小になるときの \(c\) は，面積を表す関数の導関数を取り，導関数 = 0 の方程式を解けばよい。
導関数
diff_S = diff(S, c) |> simplify
diff_S |> println
12*c*(c^3 - 21*c^2 + 225*c - 675)/(4*c^4 - 84*c^3 + 621*c^2 - 1890*c + 2025)
res3 = solve(diff_S, c)[3]; # 3 of 3
res3 |> println
-(107 + 15*sqrt(129))^(1/3) + 26/(107 + 15*sqrt(129))^(1/3) + 7
ans_c = res3.evalf()
ans_c |> println
4.46521053650337
\(c = 26/(107 + 15\sqrt{129})^{1/3} - (107 + 15\sqrt{129})^{1/3} + 7 = 4.46521053650337\) のとき，面積は最小になる。
\(c = 4.46521053650337\) のとき，\(a,\ b\) は \(15.5002689570601,\ 9.14246197101333\) である。
すなわち，長方形の長辺は 15.5002689570601，短辺は 9.14246197101333 である。
また，面積は 15.5002689570601 * 9.14246197101333 = 141.710619480400 である。
(res2[1](c => ans_c), res2[2](c => ans_c)) |> println
(res2[1] * res2[2])(c => ans_c) |> println
(15.5002689570601, 9.14246197101333)
141.710619480400
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(K1, K2, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
c = 4.46521053650337
(d, e) = [3, 5]
(a, b) = (2*c*(c - 15)/(2*c - 15), 3*c/(c - 3))
plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, b, b, 0], color=:green, lw=0.5)
plot!([0, c, a], [b, 0, b], color=:blue, lw=0.5)
rect(0, 0, d, d, :red)
rect(a - e, 0, a, e, :red)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, b, "(a,b)", :green, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(d, d, " (d,d)", :red, :left, :vcenter)
point(a - e, e, "(a-e,e) ", :red, :right, :vcenter)
point(c, 0, "c", :blue, :center, delta=-delta/2)
ylims!(-5delta, b + 5delta)
end
end;
draw(15, 8, true)
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