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37 岩手県一関市真柴字境田牧沢八幡神社明治8年(1875)

安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円3個，直角三角形，斜線
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

直角三角形の中に甲円を容れ，中鈎（直角の頂点から斜辺への垂線）で区切られた領域に乙円と丙円を容れる。鈎，股が 7 寸，24 寸のとき，3 円の直径の和はいかほどか。

上の図は，「問」とは異なり，「鈎，股が 3 寸，4 寸」のときのものである。問の場合の図は下の方に示す。

なお，それぞれの円の直径だけを求める場合には，算額（その1204）を参照のこと。

直角三角形の 3 辺を，「鈎」，「股」，「弦」
中鈎と斜辺の交点座標を \( (x_0,\ y_0)\)
甲円の半径と中心座標を \(r_1,\ (r_1,\ r_1)\)
乙円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ r_2)\)
丙円の半径と中心座標を \(r_3,\ (r_3,\ y_3)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。

まず，\(r_1,\ x_0,\ y_0\) を求める。
\(弦 = \sqrt{鈎^2 + 股^2}\) である。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms 鈎::positive, 股::positive, 弦::positive,
x0::positive, y0::positive,
r1::positive,
r2::positive, x2::positive,
r3::positive, y3::positive;
弦 = sqrt(鈎^2 + 股^2)
eq1 = (鈎 - y0)/x0 - 鈎/股
# eq2 = y0/(股 - x0) - 鈎/股
eq3 = sqrt(x0^2 + y0^2)/鈎 - 股/弦
eq4 = 鈎 + 股 - 弦 - 2r1
res = solve([eq1, eq3, eq4], (r1, x0, y0))[1]

(股/2 + 鈎/2 - sqrt(股^2 + 鈎^2)/2, 股*鈎^2/(股^2 + 鈎^2), 股^2*鈎/(股^2 + 鈎^2))

甲円の半径は \(股/2 + 鈎/2 - 弦/2\) である。

(x0, y0) = (股*鈎^2/(股^2 + 鈎^2), 股^2*鈎/(股^2 + 鈎^2))
eq5 = dist2(0, 鈎, 股, 0, x2, r2, r2)
eq6 = dist2(0, 鈎, 股, 0, r3, y3, r3)
eq7 = dist2(0, 0, x0, y0, x2, r2, r2)
eq8 = dist2(0, 0, x0, y0, r3, y3, r3)
res2 = solve([eq5, eq6, eq7, eq8], (r2, x2, r3, y3))[7]; # 7 of 16;

甲円，乙円の半径 \(r_2,\ r_3\) は以下のように簡略化できる。

res2[1] |> simplify |> println
res2[3] |> simplify |> println

股*(股 + 鈎 - sqrt(股^2 + 鈎^2))/(2*sqrt(股^2 + 鈎^2))
鈎*(股 + 鈎 - sqrt(股^2 + 鈎^2))/(2*sqrt(股^2 + 鈎^2))

甲円，乙円，丙円の直径の和（径和とする）は，以下のようになる。

径和 = 2(res[1] + res2[1] + res2[3]) |> simplify
径和 |> println

2*股*鈎/sqrt(股^2 + 鈎^2)

鈎，股が 7 寸，24 寸のとき，径和は 336/25 = 13.44 寸である。

径和(鈎 => 7, 股 => 24) |> println
径和(鈎 => 7, 股 => 24).evalf() |> println

336/25
13.4400000000000

ちなみに，甲円，乙円，丙円の直径は 6 寸，144/25 寸, 42/25 寸である。

res[1](鈎 => 7, 股 => 24) * 2 |> println
res2[1](鈎 => 7, 股 => 24) * 2 |> println
res2[3](鈎 => 7, 股 => 24) * 2 |> println

6
144/25
42/25

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(鈎, 股, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
弦 = sqrt(股^2 + 鈎^2)
(r1, x0, y0) = (股/2 + 鈎/2 - 弦/2, 股*鈎^2/(股^2 + 鈎^2), 股^2*鈎/(股^2 + 鈎^2))
r2 = 股*(股 + 鈎 - 弦)/(2弦)
x2 = (-股^2 + 股*鈎 + 股*弦)/(2弦)
r3 = 鈎*(股 + 鈎 - 弦)/(2弦)
y3 = (股*鈎 - 鈎^2 + 鈎*弦)/(2弦)
println("径和 = ", 2(r1+r2+r3))
plot([0, 股, 0, 0], [0, 0, 鈎, 0], color=:green, lw=0.5)
segment(0, 0, x0, y0, :blue)
circle(r1, r1, r1)
circle(x2, r2, r2, :magenta)
circle(r3, y3, r3, :orange)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, 鈎, " 鈎", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(股, 0, " 股", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(x0, y0, " (x0,y0)", :blue, :left, :bottom)
point(r1, r1, "甲円:r1,(r1,r1)", :red, :left, :bottom, delta=delta)
point(x2, r2, "乙円:r2,(x2,r2)", :magenta, :right, delta=-delta/2, deltax=8delta)
point(r3, y3, "丙円:r3\n(r3,y3)", :orange, :center, delta=-delta/2)
end
end;