百三十 現存するが奉納場所不明 明治14年(1881)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円5個，菱形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
菱形の中に大円 1 個，中円 2 個，小円 2 個を容れる。菱長（菱形の対角線の長い方）と大円の直径が与えられたとき，小円の直径を求めるすべを述べよ。
菱長と菱平（菱形の対角線の短い方）を \(2a,\ 2b\)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (0,\ 0)\)
中円の半径と中心座標を \(r_2,\ (r_2,\ 0)\)
小円の半径と中心座標を \(r_3,\ (2r_2 + r_3,\ 0)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, b::positive,
r1::positive, r2::positive, r3::positive;
eq1 = r1/a - b /sqrt(a^2 + b^2)
eq2 = r2/(a - r2) - r1/a
eq3 = r3/(a - 2r2 - r3) - r1/a
res = solve([eq1, eq2, eq3], (b, r2, r3))[1]
(a*r1*sqrt(1/(a - r1))/sqrt(a + r1), a*r1/(a + r1), a*r1*(a - r1)/(a^2 + 2*a*r1 + r1^2))
小円の半径 \(r_3\) はたいして簡約化できない。
@syms d
r3 = apart(res[3], d) |> factor
r3 |> println
-a*r1*(-a + r1)/(a + r1)^2
小円の半径 \(r_3\) は，菱長 \(a\)，大円の半径 \(r_1\) の関数である。
これは，「術」の「大円径/(大円径 + 菱長)^2 * 菱長*(菱長 - 大円径)」に一致する。
たとえば，\(a = 5,\ r_1 = 3\) のとき，\(r_3 = \displaystyle \frac{a r_1(a - r_1)}{(a + r_1)^2} = 15/32 = 0.46875\) である。
菱長，大円の直径が 10，6 のとき，小円の直径は 0.9375 である。
その他のパラメータは以下のとおりである。
\(a = 5;\ r_1 = 3;\ b = 3.75;\ r_2 = 1.875;\ r_3 = 0.46875\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(a, r1, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(b, r2, r3) = (a*r1*sqrt(1/(a - r1))/sqrt(a + r1), a*r1/(a + r1), a*r1*(a - r1)/(a^2 + 2*a*r1 + r1^2))
@printf("a = %g; r1 = %g; b = %g; r2 = %g; r3 = %g\n",
a, r1, b, r2, r3)
@printf("菱長，大円の直径が %g, %g のとき，小円の直径は %g である。\n", 2a, 2r1, 2r3)
plot([a, 0, -a, 0, a], [0, b, 0, -b, 0], color=:blue, lw=0.5)
circle(0, 0, r1)
circle2(r2, 0, r2, :green)
circle2(2r2 + r3, 0, r3, :magenta)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, 0, "大円:r1,(0,0) ", :red, :right, delta=-delta/2)
point(r2, 0, "中円:r2,(r2,0)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(2r2 + r3, 0, "小円:r3\n(2r2+r3,0)", :magenta, :left, delta=-5delta)
point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, b, " b", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
xlims!(-a - 2delta, a + 8delta)
end
end;
draw(10/2, 6/2, true)
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