百二十六 群馬県倉渕村水沼 蓮華院 明治11年(1878)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円5個，正三角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
正三角形の中に，等円 5 個を容れる。正三角形の一辺の長さが与えられとき，等円の直径を求めよ。
注：5 個の円の中心は正五角形の頂点である。
正三角形の一辺の長さが \(2a\)
等円の半径と中心座標を \(r，(r + 2r\cos(2\pi/5),\ r + 2r\sin(2\pi/5))\)
とおき，「斜辺と等円の距離が等円の半径に等しい」とする方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a, r
eq1 = dist2(a, 0, 0,√Sym(3)a, r + 2r*cos(2PI/5), r + 2r*sin(2PI/5), r)
res = solve(eq1, r)[2] # 2 of 2
res |> println
a*(-2*sqrt(3) + 3 + sqrt(6*sqrt(5) + 30) + 3*sqrt(5))/(2*sqrt(3) + sqrt(6)*sqrt(sqrt(5) + 5) + 2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(5) + 5) + 2*sqrt(15) + 8 + 4*sqrt(5) + sqrt(30)*sqrt(sqrt(5) + 5))
等円の半径は \(a\) の定数倍であるが，その正確な値は長い式で表される。式と言っても定数式なので，まとめると \(a\) の 0.2248064842773 倍ということである。
res.evalf() |> println
0.2248064842773*a
正三角形の一辺の長さが 3 寸のとき，等円の直径は 0.674419452831899 寸である。
2res(a => 3/2).evalf() |> println
2(3/2)*0.2248064842773 |> println
0.674419452831899
0.6744194528319
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(a, more=false)
pyplot(size=(650, 650), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r = a*(-2√3 + 3 + sqrt(6√5 + 30) + 3√5)/(2√3 + √6sqrt(√5 + 5) + 2√2sqrt(√5 + 5) + 2√15 + 8 + 4√5 + √30*sqrt(√5 + 5))
@printf("正三角形の一辺の長さが %g のとき，等円の直径は %g である。\n", 2a, 2r)
plot([a, 0, -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
circle2(r, r, r)
circle2(r + 2r*cos(2π/5), r + 2r*sin(2π/5), r)
circle(0, r + 2r*sin(2π/5) + 2r*sin(π/5), r)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, √3a, " √3a", :blue, :left, :vcenter)
point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(r + 2r*cos(2π/5), r + 2r*sin(2π/5), "(r+2r*cos(2π/5),\nr+2r*sin(2π/5))", :red, :center)
end
end;
draw(3/2, true)
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