七十九 群馬県吾妻郡吾妻町本宿 安政3年(1856)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
福島県一関市 吾勝神社 天保9年(1838)
和算の館安富有恒：『環水神壁』より復元（一関市博物館保管）
和算の館
http://wasan.jp/iwate/akatu.html
キーワード：円8個
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
外円 2 個が交わり，区画された領域に大円 2 個，小円 4 個を容れる。外円の直径が 1 寸のとき，小円の直径が最大になるときの大円の直径はいかほどか。
外円の半径と中心座標を \(R,\ (x_1,\ 0);\ x_1 = r_1\)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (x_1 + R - r_1,\ 0);\ x_1 + R - r_1 = R\)
小円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ y_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, x1::positive,
r2::positive, x2::positive, y2::positive;
x1 = r1
eq1 = (x2 - x1)^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq2 = (x1 + R - r1 - x2)^2 + y2^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = (x1 + x2)^2 + y2^2 - (R + r2)^2;
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, x2, y2))[1]
(-r1*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2), -R*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2), 2*R*r1*sqrt(R - r1)*sqrt(R + r1)/(R^2 + r1^2))
ans_r2 = res[1]
ans_r2 |> println
-r1*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2)
小円の半径 \(r_2\) は，大円の半径 \(r_1\) と外円の半径 \(R\) の関数である。
たとえば，\(R = 5/2\) のときには，下図のように，\(r_1\) が 0.2 〜 0.3 の間で \(r_2\) が最大になることがわかる。
pyplot(size=(300, 150), grid=false, aspectratio=:none, label="")
plot(ans_r2(R => 1/2), xlims=(0, 0.5), xlabel="r1", ylabel="r2")
\(r_1\) がどのような値をとると \(r_2\) が最大になるかを知るためには，\(ans_{r2}\) の導関数をとり，それが 0 になるときの \(r_1\) を求めればよい。
ans_r1 = solve(diff(ans_r2, r1), r1)[1]
ans_r1 |> println
R*sqrt(-2 + sqrt(5))
ans_r2 = ans_r2(r1 => ans_r1) |> simplify |> factor
ans_r2 |> println
R*sqrt(-2 + sqrt(5))*(-1 + sqrt(5))/2
\(r_1\) が \(R\sqrt{-2 + \sqrt{5}}\) のとき，\(r_2\) が最大値 \(R\sqrt{-2 + \sqrt{5}}\cdot(-1 + \sqrt{5})/2\) になる。
外円の直径が 1 寸のとき，大円の直径が 0.485868271756646 寸のときに，小円の直径は最大値 0.300283106000778 寸になる。
2ans_r1(R => 1/2).evalf() |> println
2ans_r2(R => 1/2).evalf() |> println
0.485868271756646
0.300283106000778
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(R, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = R*sqrt(-2 + sqrt(5))
(r2, x2, y2) = (-r1*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2), -R*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2), 2*R*r1*sqrt(R - r1)*sqrt(R + r1)/(R^2 + r1^2))
@printf("外円の直径が %g のとき，大円の直径が %g のときに小円の直径は最大値 %g になる。\n", 2R, 2r1, 2r2)
plot()
circle2(r1, 0, R)
circle2(R, 0, r1, :blue)
circle4(x2, y2, r2, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(r1, 0, "外円:R,(r1,0)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(R, 0, "大円:r1,(R,0)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(x2, y2, "小円:r2\n(x2,y2)", :green, :center, delta=-delta/2)
end
end;
draw(1/2, true)
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