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(三-25) 兵庫県太子堂町鵤鵤太子堂明治26年(1893)

近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円1個，正方形，扇
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

中心角 120° の扇面に円 1 個，正方形 2 個を容れる。扇型の半径が与えられたとき，正方形の一辺の長さを求めよ。

扇型の半径（扇長）と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
円の半径と中心座標を \(r,\ (0,\ R - r)\)
2 \(つの正方形が接する座標を (0,\ a)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。

補助線をいくつか引くと，\(a\) が正方形の一辺の長さに等しいことがわかる。
\(⊿AOB\)は\(∠AOB=30°\)の直角三角形。\(AB=OA\sin(30°),\ OB=OA\cos(30°)\)
\(⊿COD\)は\(∠COD=15°\)の直角三角形。\(OD=R\cos(15°)\)

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms R::positive, a::positive, r::positive
eq1 = (R*cosd(Sym(15)) - a*cosd(Sym(30))) - 2a*sind(Sym(30))
eq2 = dist2(0, a, R*sind(Sym(15)), R*cosd(Sym(15)), 0, R - r, r);

res = solve([eq1, eq2], (a, r))[1]

(R*(-sqrt(2) + sqrt(6))/2, R*(-438210300*sqrt(-158146253946563847*sqrt(2) - 91305782287379553*sqrt(6) + 158146253946563847*sqrt(3) + 273917346862138659) - 2 - sqrt(2) + sqrt(6) + 759002504*sqrt(-52715417982187949*sqrt(2) - 30435260762459851*sqrt(6) + 91305782287379553 + 52715417982187949*sqrt(3)))/6)

res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
res[1](R => 10).evalf() |> println

R*(-sqrt(2) + sqrt(6))/2
5.17638090205041

正方形の一辺の長さは扇長の \(\displaystyle \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\) 倍である。
扇長が 10 寸のとき，正方形の一辺の長さは 5.17638090205041 寸である。

「術」は \(\displaystyle \sqrt{\frac{扇長^2}{\sqrt{3} + 2}}\) としているが，簡約化すると上で導いた式と同じになる。

扇長 = 10
sqrt(扇長^2/(√3 + 2))

5.176380902050416

res[2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
2res[2](R => 10).evalf() |> println

R*(-sqrt(6) + sqrt(2) + 2)/6
3.21574606529972

円の半径は長精度の整数を含む長い式であるが，簡約化でき，扇長の \(\displaystyle \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2}{6}\) 倍である。
扇長が 10 寸のとき，円の直径は 3.21574606529972 寸である。

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(R, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = R*(-sqrt(2) + sqrt(6))/2
r = R*(-sqrt(6) + sqrt(2) + 2)/6
s = 2a*sind(30)
@printf("R = %g; a = %.15g; r = %.15g; s = %.15g\n", R, a, r, s)
plot()
circle(0, 0, R, beginangle=30, endangle=150)
circle(0, R - r, r, :blue)
r2 = cosd(30)a
circle(0, 0, r2, :red, beginangle=30, endangle=150)
plot!([sind(15)R, cosd(45)R, cosd(30)a, 0, sind(15)R], [cosd(15)R, sind(45)R, sind(30)a, a, cosd(15)R], color=:green, lw=0.5)
plot!(-[sind(15)R, cosd(45)R, cosd(30)a, 0, sind(15)R], [cosd(15)R, sind(45)R, sind(30)a, a, cosd(15)R], color=:green, lw=0.5)
plot!([cosd(150)R, 0, cosd(30)R], [sind(150)R, 0, sind(30)R], color=:red, lw=0.5)
segment(0, 0, sind(15)R, cosd(15)R, :gray70)
segment(0, 0, sind(30)R, cosd(30)R, :gray70)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, R, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, R - r, " R-r", :blue, :left, :vcenter)
point(0, a, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, r2, " r2", :red, :left, delta=-delta/2)
end
end;