一八 大里郡岡部村岡 稲荷社 文化14年(1817)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円1個，正三角形，菱形，斜線
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
正三角形の中に斜線と菱形と円を容れる。正三角形の一辺の長さを 8 寸としたとき，斜線の長さはいかほどか。
正三角形の一辺の長さを \(a\)
円の半径と中心座標を \(r,\ (x,\ r)\)
菱形の頂点の座標を \( (c,\ 2r),\ (a - 2r/\sqrt{3},\ 0)\)
斜線と正三角形の底辺との交点座標を \( (b,\ 0)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms r::positive, x::positive, a::positive, b::positive, c::positive
c = a - 2r/√Sym(3)
eq1 = dist2(0, 0, a/2, √Sym(3)a/2, x, r, r)
eq2 = dist2(b, 0, a/2, √Sym(3)a/2, x, r, r)
eq3 = dist2(2c - a, 0, c, 2r, x, r, r)
res = solve([eq1, eq2, eq3], (b, x, r))[1]
(5*a/8, 3*a/8, sqrt(3)*a/8)
斜線と正三角形の底辺との交点の座標は，\( (5a/8, 0)\) である。
正三角形の頂点 \( (a/2,\ \sqrt{3}a/2)\) からの線分の長さは
\( \sqrt{ (5a/8 - a/2)^2 + (\sqrt{3}a/2)^2} = 7a/8\) である。
正三角形の一辺の長さが 8 寸のときは，斜線の長さは 7 寸である。
図を描いて，正三角形の辺に平行で円の中心を通る平行線や接線を描くと一辺が2の小さな正三角形ができる。三角形 ABC の斜辺の長さ AB を求めることになる。\(AC = 1,\ BC = 4\sqrt{3}\) なのでピタゴラスの定理から \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1 + 48} = \sqrt{49} = 7\) となる。
その他のパラメータは以下のとおりである。
\(a = 8;\ b = 5;\ c = 6;\ x = 3;\ r = 1.73205\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(a, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(b, x, r) = (5*a/8, 3*a/8, sqrt(3)*a/8)
c = a - 2r/√3
@printf("正三角形の一辺の長さが %g のとき，斜線の長さは %g である。\n", a, 7a/8)
@printf("a = %g; b = %g; c = %g; x = %g; r = %g\n", a, b, c, x, r)
plot([0, a, a/2, 0], [0, 0, √3a/2, 0], color=:blue, lw=0.5)
circle(x, r, r)
segment(a/2, √3a/2, b, 0)
segment(2c - a, 0, c, 2r, :green)
segment(c, 2r, a - c, 2r, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a/2, √3a/2, " (a/2,√3a/2)", :blue, :left, :vcenter)
point(c, 2r, " (c,2r)", :green, :left, :vcenter)
point(a - c, 2r, "(a-c,2r) ", :green, :right, :vcenter)
point(x, r, "(x,r)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(2c - a, 0, "2c-a", :green, :center, delta=-delta/2)
point(b, 0, "b", :black, :center, delta=-delta/2)
point(a, 0, "a", :blue, :center, delta=-delta/2)
ylims!(-5delta, √3a/2 + 2delta)
end
end;
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