一〇一 大宮市高鼻町 氷川神社 明治31年(1898)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円5個，正三角形，正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
正方形の中に対角線，大円 2 個，中円 1 個，小円 2 個，正三角形 2 個を容れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径はいかほどか。
図形を反時計回りに 45° 回転させると考えやすい。
正方形の対角線の長さを \(2a\)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (x_1,\ -r_1)\)
中円の半径と中心座標を \(r_2,\ (0,\ -r_2 - b)\)
小円の半径と中心座標を \(r_3,\ (x_3,\ r_3)\)
小さな正三角形の高さを \(b = a*(3 - \sqrt{3})/2\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive,
x1::positive, r2::positive,
r3::positive, x3::positive
b = a*(3 - √Sym(3))/2
eq1 = dist2(0, a, a/√Sym(3), 0, x3, r3, r3)
eq2 = dist2(0, a, a, 0, x3, r3, r3)
eq2 = r3/(a - x3) - tand(Sym(45)/2)
eq3 = dist2(0, 0, b/√Sym(3), -b, x1, -r1, r1)
eq4 = dist2(0, -a, a, 0, x1, -r1, r1)
eq5 = (a - r2 - b) - √Sym(2)r2;
まず，eq1, eq2 から \(a,\ x_3\) を求める。
res1 = solve([eq1, eq2], (a, x3))[1];
@syms d
ans_a = apart(res1[1]/r3, d) |> simplify |> (x -> r3*x)
ans_a |> println
r3*(sqrt(6)/2 + sqrt(3) + 2 + 3*sqrt(2)/2)
ans_x3 = apart(res1[2]/r3, d) |> simplify |> (x -> r3*x)
ans_x3 |> println
r3*(sqrt(2)/2 + 1 + sqrt(6)/2 + sqrt(3))
\(x_1\) は eq3 から求まるが，この段階ではまだ \(r_1\) が未知である。
ans_x1 = solve(eq3, x1)[1]
ans_x1 |> println
sqrt(3)*r1
eq4 に \(a,\ x_1\) を代入して，\(r_1\) を求める。
eq4 = eq4(a => ans_a, x1 => ans_x1) |> simplify;
ans_r1 = solve(eq4, r1)[2] |> simplify;
ans_r1 = apart(ans_r1*4/r3, d) |> simplify |> (x -> x*r3/4) |> simplify
ans_r1 |> println
r3*(sqrt(2) + 2)/2
大円の半径 \(r_1\) は 小円の半径 \(r_3\) の \( (\sqrt{2} + 2)/2\) 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は \( (\sqrt{2} + 2)/2 = 1.7071067811865475\) である。
eq5 に \(a\) を代入して \(r_2\) を求める。
eq5 = eq5(a => ans_a);
ans_r2 = apart(solve(eq5, r2)[1]/r2, d) |> simplify |> (x -> r2*x)
ans_r2 |> println
r3*(-1 + sqrt(2) + sqrt(3))/2
その他のパラメータは以下の通りである。
\( r_3 = 0.5;\ a = 3.53906;\ x_3 = 2.33195;\ r_1 = 0.853553\)
\(x_1 = 1.4784;\ r_2 = 0.536566;\ b = 2.24367\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(r3, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = r3*(√6/2 + √3 + 2 + 3√2/2)
x3 = r3*(√2/2 + 1 + √6/2 + √3)
r1 = r3*(√2 + 2)/2
x1 = √3r1
b = a*(3 - √3)/2
r2 = r3*(√2 + √3 - 1)/2
@printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r3, 2r1)
@printf("r3 = %g; a = %g; x3 = %g; r1 = %g; x1 = %g; r2 = %g; b = %g\n", r3, a, x3, r1, x1, r2, b)
plot([a, 0, -a, 0, a], [0, a, 0, -a, 0], color=:blue, lw=0.5)
segment(-a, 0, a, 0, :magenta, lw=0.5)
plot!([a/√3, 0, -a/√3, a/√3], [0, a, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
plot!([b/√3, 0, -b/√3, b/√3], [-b, 0, -b, -b], color=:green, lw=0.5)
circle2(x1, -r1, r1)
circle(0, -r2 - b, r2, :magenta)
circle2(x3, r3, r3, :orange)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, a, "a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(a, 0, "a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(a/√3, 0, "a/√3", :green, :left, delta=-delta/2)
point(b/√3, -b, " (b/√3,-b)", :green, :left, :vcenter)
point(x1, -r1, "大円:r1\n(x1,-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(x3, r3, "小円:r3,(x3,r3) ", :black, :right, :vcenter)
point(0, -r2 - b, " 中円:r2,(0,-r2-b)", :black, :left, :vcenter)
end
end;
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