4 岩手県花巻市北笹間 東光寺 慶應2年(1866)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：3次元，球，円錐台
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
円錐台の中に直径 4 寸の大球 2 個と直径 2 寸の小球 2 個が入っている。円錐台の高さを求めよ。
注：大球，小球は円錐台の側面にそれぞれ 2 点で接し，小球は円錐台の上面に接している。
2 個の小球が重なって見える方向から見た図
2 個の大球が重なって見える方向から見た図
円錐の高さ，底面の円の半径を \(h，a\)
大球の半径と中心座標を \(r_1, (r_1, 0, r_1)\)
小球の半径と中心座標を \(r_2, (0, r_2, z_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
円錐台の高さは，小球の中心の \(z\) 座標値に小球の半径を加えたもの \(z_2 + r_2\) である。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positice, h::positive, r1::positive,
r2::positive, z2::positive
eq1 = r1^2 + r2^2 + (z2 - r1)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = a + h - sqrt(a^2 + h^2) - 2r1
eq3 = dist2(0, h, a, 0, r2, z2, r2)
eq4 = r2*(h + a + sqrt(a^2 + h^2)) - a*h;
\(z_2\) は eq1 を解くことにより求めることができる。
ans_z2 = solve(eq1,z2)[2]
ans_z2 |> println
ans_z2 + r2 |> println
sqrt(2)*sqrt(r1)*sqrt(r2) + r1
sqrt(2)*sqrt(r1)*sqrt(r2) + r1 + r2
円錐台の高さは \(\sqrt{2r_1\ r_2} + r_1 + r_2\) である。
大球，小球の半径が 4/2 寸, 2/2 寸のとき，円錐台の高さは 5 寸である。
ans_z2(r1 => 4//2, r2 => 2//2) |> println
(ans_z2 + r2)(r1 => 4//2, r2 => 2//2) |> println
4
5
この連立方程式は，変数名のままでは適切な解が得られない。\(r_1, r_2\) に特定の数値を与え，\(a, h\) を求める。
eq12 = eq2(z2 => ans_z2)
eq13 = eq3(z2 => ans_z2)/a
eq14 = eq4(z2 => ans_z2)
eq12 = eq12(r1 => 4//2, r2 => 2//2)
eq13 = eq13(r1 => 4//2, r2 => 2//2)
eq14 = eq14(r1 => 4//2, r2 => 2//2)
円錐台の底面の円の直径は 8 寸，円錐の高さは 6 寸である。
res = solve([eq12, eq13], (a, h))[1]
(8, 6)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(type, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(r1, r2, a, h, z2) = (4/2, 2/2, 8, 6, 4)
b = (h - (z2 + r2))/h*a
plot([a, 0, -a, a], [0, h, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
if type == 1
circle2(r1, r1, r1, :blue)
circle(0, z2, r2)
else
circle(0, r1, r1, :blue)
circle2(r2, z2, r2)
end
segment(-b, z2 + r2, b, z2 + r2)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
if type == 1
point(r1, r1, "大球:r1,(r1,r1)", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, z2, "小球:r2,(0, z2)", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
else
point(0, r1, "大球:r1,(0,r1)", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(r2, z2, "小球:r2,(r2, z2)", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
end
point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, h, "h", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(0, z2 + r2, " z2+r2", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
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