61 岩手県花泉町金沢字大柳 金沢八幡宮 明治29年(1896)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円4個，外円，四分円
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
全円の中に 四分円を 3 個，等円を 3 個容れる。正三角形の一辺の長さ（四分円の半径）が与えられたとき，等円の直径を求めよ。
全円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0);\ R = \sqrt{ (\sqrt{3}a/3 + 2a)^2 + a^2} = 2a\sqrt{3\sqrt{3} + 12}/3\)
四分円の半径と中心座標を \(2a,\ (0,\ 2\sqrt{3}a/3),\ (-a,\ -\sqrt{3}a/3)\)
等円の半径と中心座標を \(r,\ (x,\ y);\ x < 0\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, a::positive,
x::negative, y::positive, r::positive
R = sqrt( (√Sym(3)a/3 + 2a)^2 + a^2)
eq1 = (x + a)^2 + (y + √Sym(3)a/3)^2 - (2a + r)^2
eq2 = x^2 + y^2 - (R - r)^2
eq3 = dist2(0, 2√Sym(3)a/3, √Sym(3)a, 2√Sym(3)a/3 + a, x, y, r);
function H(u)
(r, x, y) = u
return [
(a + x)^2 - (2*a + r)^2 + (sqrt(3)*a/3 + y)^2, # eq1
x^2 + y^2 - (-r + sqrt(a^2 + (sqrt(3)*a/3 + 2*a)^2))^2, # eq2
a^2 + a*x - sqrt(3)*a*y - r^2 + x^2/4 - sqrt(3)*x*y/2 + 3*y^2/4, # eq3
]
end;
a = 1/2
iniv = BigFloat[0.38, -0.019, 1]
res = nls(H, ini=iniv)
([0.3786461241150318, -0.019277088702774222, 1.0034435202087308], true)
正三角形の一辺の長さが 1 のとき，等円の直径は 2*0.3786461241150318 = 0.7572922482300636 である。
算額の「術」と一致した。
三角面 = 1
天 = √3
地 = √(天 + 4) + 天
誤 A = sqrt( (3*0.732 + 1)*(2地 + 1) + 3) + (地 + 1) 0.732 ではなく 1.732(=√3）
A = sqrt( (3天 + 1)*(2地 + 1) + 3) + (地 + 1)
等円径 = A/地^2*三角面
0.7572922482300636
その他のパラメータは以下のとおりである。
\(a = 0.5;\ R = 1.38227;\ r = 0.378646;\ x = -0.0192771;\ y = 1.00344\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = 1/2 #10√3/2
(r, x, y) = res[1]
#a = 8.66025; R = 23.9417; r = 6.61269; x = -0.39708; y = 17.3766
R = sqrt( (√3a/3 + 2a)^2 + a^2)
@printf("正三角形の一辺の長さが %g のとき，等円の直径は %.15g である。\n", 2a, 2r)
@printf("a = %g; R = %g; r = %g; x = %g; y = %g\n", a, R, r, x, y)
plot([a, 0, -a, a], [-√3a/3, 2√3a/3, -√3a/3, -√3a/3], color=:magenta, lw=0.5)
circle(0, 0, R, :blue)
rotate(x, y, r, :green)
for i = 0:2 # 90:120:330
ox = 2√3a/3*cosd(90 + 120i)
oy = 2√3a/3*sind(90 + 120i)
ba = -60 + 120i
ea = -60 + 120i + 90
circle(ox, oy, 2a, beginangle=ba, endangle=ea)
x1 = ox + 2a*cosd(ea)
y1 = oy + 2a*sind(ea)
segment(ox, oy, x1, y1, :red)
end
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x, y, "(x,y)")
point(a, -√3a/3, "(a,-√3a/3) ", :magenta, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(0, 2√3a/3, " 2√3a/3", :magenta, :left, :vcenter)
point(0, R, " R", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(√3a, 2√3a/3 + a)
end
end;
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