61 岩手県花泉町金沢字大柳 金沢八幡宮 明治29年(1896)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円3個，半円，二等辺三角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
半円の中に合同な二等辺三角形を 4 個，大円 1 個，小円 2 個を容れる。小円の直径が与えられたとき，大円の直径を求めよ。
半円の半径と中心座標を \(R, (0, 0)\)
大円の半径と中心座標を \(r_1, (0, R - r_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2, (R/2, y_2)\)
二等辺三角形の高さを \(y_0\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive,
r2::positive, y2::positive, y0::positive
y0 = √Sym(7)R/4 # y0 = sqrt(R^2 - (3R/4)^2)
eq1 = R^2/4 + y2^2 - (R - r2)^2 |> expand
eq2 = r2/y2 - r1 /(R - r1)
eq3 = dist2(0, 0, R/4, y0, R/2, y2, r2)
eq4 = dist2(0, 0, R/4, y0, 0, R - r1, r1)
res = solve([eq1, eq2, eq4], (R, r1, y2))[1]
(2*r2*(5*sqrt(9 - 4*sqrt(2)) + 14 + 10*sqrt(18 - 8*sqrt(2)))/21, 2*r2*(-2 + 4*sqrt(2) + 5*sqrt(9 - 4*sqrt(2)))/21, 2*sqrt(2)*r2)
# R 半円の半径
res[1]
\(\frac{2 r_{2} \left(5 \sqrt{9 - 4 \sqrt{2}} + 14 + 10 \sqrt{18 - 8 \sqrt{2}}\right)}{21}\)
res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
\(\frac{14 r_{2}}{3}\)
# r1 大円の半径
res[2]
\(\frac{2 r_{2} \left(-2 + 4 \sqrt{2} + 5 \sqrt{9 - 4 \sqrt{2}}\right)}{21}\)
res[2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
\(\frac{2 r_{2} \left(-1 + 2 \sqrt{2}\right)}{3}\)
大円の半径 \(r_1\) は，小円の半径 \(r_2\) の \(2(2\sqrt{2} - 1)/3\) 倍である。
res[2](r2 => 1/2).evalf() * 2 |> println
1.21895141649746
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は 1.2189514164974602 寸である。
術は「\( (70 - \sqrt{1372})/27)*小円径\)」なので，小円の直径が 1 のとき 1.220721542410953 になり，前述の解と一致しない。
ただ，普通の大きさで図を描くと，両者は殆ど区別できない。
(70 - √1372)/27
1.220721542410953
# y2 小円の中心の y 座標
res[3]
\(2 \sqrt{2} r_{2}\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r2 = 1/2
(R, r1, y2) = r2 .* (14/3, (4√2 - 2)/3, 2√2)
y0 = √7R/4
@printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
@printf("r2 = %g; R = %g; r1 = %g; y2 = %g; y0 = %g\n", r2, R, r1, y2, y0)
plot(R .* [1, 3/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4, -1/2, -3/4, -1, 1], [0, y0, 0, y0, 0, y0, 0, y0, 0, 0], color=:magenta, lw=0.5)
circle(0, 0, R, :blue, beginangle=0, endangle=180)
circle(0, R - r1, r1)
circle2(R/2, y2, r2, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(R/4, 0, "R/4", :magenta, :center, delta=-delta)
point(R/2, 0, "R/2", :magenta, :center, delta=-delta)
point(3R/4, 0, "3R/4", :magenta, :center, delta=-delta)
point(3R/4, y0, " (3R/4,y0)", :magenta, :left, :vcenter)
point(R/2, y2, "小円:r2\n(R/2,y2)", :green, :center, delta=-delta)
point(0, R - r1, "大円:r1\n(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta)
point(0, R, "R", :blue, :center, :bottom, delta=delta)
point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
plot!(ylims=(-8delta, R + 2delta))
end
end;
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