61 岩手県花泉町金沢字大柳 金沢八幡宮 明治29年(1896)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円3個，四分円，正三角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
正三角形と 2 個の四分円が重なっている領域に等円 3 個を容れる。等円の直径が与えられたときに正三角形の一辺の長さを求めよ。
正三角形の一辺の長さを \(2a\)
四分円の半径と中心座標を \(R,\ (a,\ 0),\ (-a,\ 0)\)
等円の半径と中心座標を \(r,\ (a - r,\ y_1),\ (0,\ y_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, R::positive, r::positive, y1::positive, y2::positive
eq1 = r^2 + y1^2 - (R - r)^2
eq2 = a^2 + y2^2 - (R + r)^2
eq3 = 2r - (√Sym(3)a -y2)
eq4 = dist2(0, √Sym(3)a, a, 0, a - r, y1, r)
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (a, R, y1, y2))[1];
三角形の一辺の長さは等円の半径の \(\sqrt{3} + \sqrt{4\sqrt{2} + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{6} + 11}\) 倍である。
a = res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
a |> println
r*(sqrt(3) + sqrt(4*sqrt(2) + 4*sqrt(3) + 4*sqrt(6) + 11))/2
R = res[2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
R |> println
r*(1 + sqrt(2) + sqrt(6))
y1 = res[3] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
y1 |> println
r*(sqrt(3) + 2)
y2 = res[4] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
y2 |> println
r*(-1 + sqrt(12*sqrt(2) + 12*sqrt(3) + 12*sqrt(6) + 33))/2
等円の直径が 1 寸のとき，三角形の一辺の長さは 3.7549272907866866 寸である。
その他のパラメータは以下のとおりである。
\(r = 0.5,\ a = 1.87746;\ R = 2.43185;\ y_1 = 1.86603;\ y_2 = 2.25186\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r = 1/2
a = r*(√3 + sqrt(4√2 + 4√3 + 4√6 + 11))/2
R = r*(1 + √2 + √6)
y1 = r*(√3 + 2)
y2 = r*(-1 + sqrt(12√2 + 12√3 + 12√6 + 33))/2
@printf("等円の直径が %g のとき，正三角形の一辺の長さは %g である。\n", 2r, 2a)
@printf("r = %g, a = %g; R = %g; y1 = %g; y2 = %g\n", r, a, R, y1, y2)
plot([a, 0, -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
circle(0, y2, r)
circle2(a - r, y1, r)
circle(a, 0, R, :blue, beginangle=90, endangle=180)
circle(-a, 0, R, :blue, beginangle=0, endangle=90)
segment(a, 0, a, R, :blue)
segment(-a, 0, -a, R, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, y2, "等円:r,(0,y2)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(a - r, y1, "等円:r,(a-r,y1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(0, √3a, " √3a", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(a, R, "(a,R)", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
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