五十三 岩手県一関市 舞草観音堂 天保14年(1843)より後（?）
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円4個，外円，楕円，正三角形，弦
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
全円に内接する正三角形と水平な弦を引き，分割された領域に等円 3 個，楕円 1 個を容れる。等円の直径が 与えられたときに楕円の長径を求めよ。
全円の半径と中心座標を \(R, (0, 0)\)
等円の半径と中心座標を \(r, (x, 2b - R/2 - r), (0, 2b - R/2 + r)\)
楕円の長半径，短半径と中心座標を \(a, b, (0, b - R/2); b = r\)
最終的な図を描くのには不要であるが，楕円と正三角形の接点の座標を \( (x_0, y_0)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r::positive, x::positive, y::positive,
a::positive, b::positive, x0::positive, y0::positive
y = 2b - R/2 - r
eq1 = x0^2/a^2 + (y0 - b + R/2)^2/b^2 - 1
eq2 = -b^2*x0/(a^2*(y0 - b + R/2)) + √Sym(3)
eq3 = (y0 - b + R/2)/x0 - 1/√Sym(3) # 0.3083756345177664
eq3 = (y0 + R/2)/(√Sym(3)R/2 - x0) -√Sym(3)
eq4 = dist2(0, R, √Sym(3)R/2, -R/2, x, y, r)
eq5 = dist2(0, R, √Sym(3)R/2, -R/2, 0, r + 2b - R/2, r)
eq6 = x^2 + y^2 - (R - r)^2
eq7 = 2r - (3R/2 - 2b - r)
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6], (R, x, a, b, x0, y0))[1]
(9*r/2, 2*sqrt(3)*r, 3*sqrt(3)*r/2, 15*r/8, 18*sqrt(3)*r/13, 9*r/26)
楕円の長半径 \(a\) は，等円の半径 \(r\) の \(3\sqrt{3}/2\) 倍である。
等円の直径が 1 寸の解き，楕円の長径は \(3\sqrt{3}/2 = 2.598076211353316\) 寸である。
その他のパラメータは以下のとおりである。
r = 0.5; R = 2.25; x = 1.73205; y = 0.25; a = 1.29904; b = 0.9375; x0 = 1.19911; y0 = 0.173077
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r = 1/2
(R, x, a, b, x0, y0) = (9*r/2, 2*sqrt(3)*r, 3*sqrt(3)*r/2, 15*r/8, 18*sqrt(3)*r/13, 9*r/26)
y = 2b - R/2 - r
l = √3R/2
@printf("等円の直径が %g のとき，楕円の長径は %g である。\n", 2r, 2a)
@printf("r = %g; R = %g; x = %g; y = %g; a = %g; b = %g; x0 = %g; y0 = %g\n", r, R, x, y, a, b, x0, y0)
plot([l, 0, -l, l], [ -R/2, R, -R/2, -R/2], color=:blue, lw=0.5)
circle(0, 0, R, :magenta)
circle2(x, y, r)
circle(0, 2b - R/2 + r, r)
ellipse(0, b - R/2, a, b, color=:green)
segment(-sqrt(R^2 - (2b - R/2)^2), 2b - R/2, sqrt(R^2 - (2b - R/2)^2), 2b - R/2)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, -R/2, "-R/2", :green, :center, delta=-delta/2)
point(0, 2b - R/2, "2b-R/2", :green, :center, delta=-delta/2)
point(0, 2b - R/2 + r, "等円:r\n(0,2b-R/2+r)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(x, 2b - R/2 - r, "等円:r\n(0,2b-R/2-r)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(0, b - R/2, "楕円:a,b,(0,b-R/2)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(R, 0, " R", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
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