17 岩手県江刺市大通り 中善観音 文政10年(1827)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円13個，外円
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
外円の中に，甲円 2 個，乙円 4 個，丙円 2 個，丁円 4 個を容れる。丁円の直径が 1 寸のとき，丙円の直径はいかほどか。
外円の半径と中心座標を \(R, (0, 0); R - 2r_1\)
甲円の半径と中心座標を \(r_1, (0, R - r_1)\)
乙円の半径と中心座標を \(r_2, (x_2, r_2)\)
丙円の半径と中心座標を \(r_3, (x_3, 0)\)
丁円の半径と中心座標を \(r_4, (x_4, y_4)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
一度に解けない。しかし，丙円は最終的には丁円との関連を問われるが，甲円，乙円，丁円は丙円とは独立に決めることができるので，まず eq1, eq2, eq3, eq5, eq7 の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive,
r2::positive, x2::positive,
r3::positive, x3::positive,
r4::positive, x4::positive, y4::positive
R = 2r1
eq1 = x2^2 + r2^2 - (R -r2)^2 |> expand
eq2 = x4^2 + y4^2 - (R - r4)^2 |> expand
eq3 = x2^2 + r2^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq4 = x3^2 + (R - r1)^2 - (r1 + r3)^2 |> expand
eq5 = x4^2 + (y4 - R + r1)^2 - (r1 + r4)^2 |> expand
eq6 = (x2 - x3)^2 + r2^2 - (r2 + r3)^2 |> expand
eq7 = (x2 - x4)^2 + (y4 - r2)^2 - (r2 + r4)^2 |> expand;
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq5, eq7], (r1, r2, x2, x4, y4))[1]
(sqrt(2)*r4 + 5*r4/2, sqrt(2)*r4/2 + 5*r4/4, 2*r4 + 5*sqrt(2)*r4/2, 2*r4*sqrt(2*sqrt(2) + 3), 2*r4*(1 + sqrt(2)))
\(x_4\) は二重根号を外すことができる。
res[1] |> simplify |> println
res[2] |> simplify |> println
res[3] |> simplify |> println
res[4] |> sympy.sqrtdenest |> println
res[5] |> simplify |> println
r4*(2*sqrt(2) + 5)/2
r4*(2*sqrt(2) + 5)/4
r4*(4 + 5*sqrt(2))/2
2*r4*(1 + sqrt(2))
2*r4*(1 + sqrt(2))
\(r_1, r_2, x_2, x_4, y_4\) が決まったので，残りの \(r_3, x_3\) を求める。
r1 = √Sym(2)r4 + 5r4/2
r2 = √Sym(2)r4/2 + 5r4/4
x2 = 2r4 + 5√Sym(2)r4/2
x4 = 2r4*(1 + √Sym(2))
y4 = 2r4 + 2√Sym(2)r4
R = 2r1
eq4 = x3^2 + (R - r1)^2 - (r1 + r3)^2 |> expand
eq6 = (x2 - x3)^2 + r2^2 - (r2 + r3)^2 |> expand
res2 = solve([eq4, eq6], (r3, x3))[1]
(-5*r4 - 2*sqrt(2)*r4 + 2*sqrt(2)*(8*r4/7 + 10*sqrt(2)*r4/7), 8*r4/7 + 10*sqrt(2)*r4/7)
\(r_3\) は更に簡約化できる。
res2[1] |> simplify |> println
res2[2] |> simplify |> println
r4*(2*sqrt(2) + 5)/7
2*r4*(4 + 5*sqrt(2))/7
丙円の半径 \(r_3\) は，丁円の半径 \(r_4\) の \( (2\sqrt{2} + 5)/7\) 倍である（術に一致する）。
丁円の直径が 1 寸のとき，丙円の直径は \( (2\sqrt{2} + 5)/7 = 1.1183467321065985\) 寸である。
(2√2 + 5)/7
1.1183467321065985
その他のパラメータは以下のとおりである
r4 = 0.5; r1 = 1.95711; r2 = 0.978553; x2 = 2.76777; x4 = 2.41421; y4 = 2.41421; r3 = 0.559173; x3 = 1.58158; R = 3.91421
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r4 = 1/2
r1 = √2r4 + 5r4/2
r2 = √2r4/2 + 5r4/4
x2 = r4*(2 + 5√2/2)
x4 = 2r4*(1 + √2)
y4 = 2r4*(1 + √2)
r3 = r4*(2√2 + 5)/7
x3 = 2r4*(4 + 5√2)/7
R = 2r1
@printf("丁円の直径が %g のとき，丙円の直径は %g である。\n", 2r4, 2r3)
@printf("r4 = %g; r1 = %g; r2 = %g; x2 = %g; x4 = %g; y4 = %g; r3 = %g; x3 = %g; R = %g\n",
r4, r1, r2, x2, x4, y4, r3, x3, R)
plot()
circle(0, 0, R, :orange)
circle22(0, R - r1, r1)
circle4(x2, r2, r2, :blue)
circle2(x3, 0, r3, :magenta)
circle4(x4, y4, r4, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(x2, r2, "乙円:r2,(x2,r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
point(x3, 0, "丙円:r3,(x3,0)", :magenta, :left, delta=-delta/2, deltax=-4delta)
point(x4, y4, "丁円:r4,(x4,y4)", :green, :left, delta=-delta/2, deltax=-4delta)
point(R, 0, " R", :black, :left, :bottom, delta=delta/2, deltax=-0.5delta)
end
end;
以下のアイコンをクリックして応援してください
