九十四 岩手県大船渡市立根町 五葉神社 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円3個，正三角形，正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
正方形の中に正三角形と大円，小円を容れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径はいかほどか。
正方形の一辺の長さを \(a\)
正方形の辺上にある正三角形の頂点の座標を \( (0,\ b),\ (b,\ 0)\)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (r_1,\ r_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2,\ (a - r_2,\ r_2),\ (r_2,\ a - r_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = a + (a - b) - sqrt(a^2 + (a - b)^2) - 2r2
eq2 = 2b - sqrt(Sym(2))b - 2r1
eq3 = a^2 + (a - b)^2 - 2b^2;
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, a, b))[1]
(2*r2/( (-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*(sqrt(2) + 2 + sqrt(12*sqrt(2) + 18))/( (-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), 2*r2*(sqrt(2) + 2)/( (-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)))
@syms d
ans_r2 = res[1]/r2
ans_r2 = apart(ans_r2, d) |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> (x -> x*r2)
ans_r2 |> println
r2*(-sqrt(6) - 2 + 2*sqrt(2) + 2*sqrt(3))
大円の半径 \(r_1\) は，小円の半径 \(r_2\) の \(2(\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1) - \sqrt{6} = 1.8430389971007672\) 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は 1.8430389971007672 寸である。
2(√2 + √3 - 1) - √6
1.8430389971007672
その他のパラメータは以下のとおりである。
\(正三角形の一辺の長さは 4.44949\)
\(r_2 = 0.5;\ r_1 = 0.921519;\ a = 4.29788;\ b = 3.14626\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r2 = 1/2
(r1, a, b) = (2*r2/( (-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*(sqrt(2) + 2 + sqrt(12*sqrt(2) + 18))/( (-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), 2*r2*(sqrt(2) + 2)/( (-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)))
@printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
@printf("正三角形の一辺の長さは %g\n", √2b)
@printf("r2 = %g; r1 = %g; a = %g; b = %g\n", r2, r1, a, b)
plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
plot!([b, a, 0, b], [0, a, b, 0], color=:orange, lw=0.5)
circle(r1, r1, r1)
circle(a - r2, r2, r2, :green)
circle(r2, a - r2, r2, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, a, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(r1, r1, "大円:r1,(r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(a - r2, r2, "小円:r2\n(a-r2,r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(r2, a - r2, "小円:r2\n(r2,a-r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
end
end;
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