一七 大里郡岡部村岡 稲荷社 文化13年(1816)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円4個，正三角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
正三角形と大円が交差してできる区画された領域に小円 3 個を容れる。大円の直径が 119 寸のとき，小円の直径はいかほどか。
式を簡単にするために元の図を時計回りに 120° 回転させた図で考える。
正三角形の一辺の長さを \(2a\)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (0,\ y_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ r_2),\ (0,\ y_1 - r_1 + r_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, y1::positive,
r2::positive, x2::positive
eq1 = r2*√Sym(3) - (a - x2)
eq2 = x2^2 + (y1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = 2r1 - (√Sym(3)a - y1)
eq4 = y1 - r1 + 2r2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r2, x2, y1, a))[1]
(3*r1*(9 - 4*sqrt(2))/49, 4*r1*(sqrt(3) + 5*sqrt(6))/49, r1*(-5 + 24*sqrt(2))/49, 8*sqrt(6)*r1/49 + 31*sqrt(3)*r1/49)
乙円の半径は甲円の半径の \(3(9 - 4\sqrt{2})/49\) 倍である。
甲円の直径が 119 寸のとき，乙円の直径は \(119\cdot 3(9 - 4\sqrt{2})/49 = 24.35720475369837\) 寸である。
このシリーズでは整数値に近い答えになるという設定になっているのであるが，この問は半端な数になった。三角形の一辺の長さは 88.9943843290936 で 89 にかなり近い値にはなっている。
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = 119/2
(r2, x2, y1, a) = (3*r1*(9 - 4*sqrt(2))/49, 4*r1*(sqrt(3) + 5*sqrt(6))/49, r1*(-5 + 24*sqrt(2))/49, 8*sqrt(6)*r1/49 + 31*sqrt(3)*r1/49)
@printf("大円の直径が %g のとき，小円の直径は %g である。\n", 2r1, 2r2)
@printf("r2 = %g; x2 = %g; y1 = %g; a = %g\n", r2, x2, y1, a)
plot([a, 0, -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:magenta, lw=0.5)
circle(0, y1, r1)
circle2(x2, r2, r2, :blue)
circle(0, y1 - r1 + r2, r2, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, 0, " a", :magenta, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(0, √3a, " √3a", :magenta, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(0, y1, "大円:r1,(0,y1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(x2, r2, "小円:r2,(x2,r2) ", :blue, :right, delta=-delta/2, deltax=4delta)
point(0, y1 - r1 + r2, "小円:r2,(0,y1-r1+r2) ", :black, :right, delta=-delta/2, deltax=4delta)
end
end;
以下のアイコンをクリックして応援してください
