三十五 群馬県安中市鷺宮 咲前神社 明治20年(1887)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
「算額」第三集 全国調査，香川県算額研究会.（香川県立図書館蔵）
キーワード：円12個，菱形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
菱形の中に等円が 12 個入っている。菱形の短い方の対角線が 5.4 寸，菱形の一辺の長さが 4.5 寸のとき，等円の直径はいかほどか。
菱形の長いほうの対角線の長さを \(2a\)，短い方の対角線の長さを \(2b\) とする。
菱形の一辺の長さを \(c\) とすると，\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\) である。
等円の半径と中心座標を \(r,\ (x,\ r),\ (r,\ y),\ ( (r + x)/2,\ (r + y)/2)\)
と置き，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, b::positive, c::positive,
r::positive, x::positive, y::positive
a = sqrt(c^2 - b^2)
eq1 = dist2(a, 0, 0, b, r, y, r)
eq2 = dist2(a, 0, 0, b, x, r, r)
eq3 = (x - r)^2/4 + (y - r)^2/4 - 4r^2 |> expand |> simplify;
eq1, eq2 から \(y,\ x\) を求める。
ans_y = solve(eq1, y)[1]
ans_y |> println
ans_x = solve(eq2, x)[1]
ans_x |> println
(b^2 - b*c + r*sqrt(-b^2 + c^2))/(b - c)
(-c*r + (b - r)*sqrt(-b^2 + c^2))/b
\(y,\ x\) を eq3 に代入する。
eq13 = eq3(x => ans_x, y => ans_y) |> expand |> simplify |> numerator
eq13 |> println
b^3*c^2 - 16*b^3*r^2 - b^2*c^3 - 2*b^2*c^2*r + 16*b^2*c*r^2 + 2*b*c^3*r + 2*b*c^2*r*sqrt(-b^2 + c^2) - 2*c^3*r^2 - 2*c^2*r^2*sqrt(-b^2 + c^2)
\(r\) について解く。
ans_r = solve(eq13, r)[2] # 2 of 2
ans_r |> println
b*c*(4*b*(b - c) + c*(-b + c + sqrt(-b^2 + c^2)))/(2*(8*b^3 - 8*b^2*c + c^3 + c^2*sqrt(-b^2 + c^2)))
\(ans_r\) は \(b,\ c\) のみを含むので，それぞれの値を代入すれば，その条件における等円の直径が求まる。
ans_r(b => 2.7, c=> 4.5) |> println
0.500000000000001
\(ans_x,\ ans_y\) は \(b,\ c\) の他に \(r\) を含む式であるが，上で得られた \(ans_r\) を代入すればよい。
ans_x(b => 2.7, c=> 4.5, r => 0.5) |> println
ans_y(b => 2.7, c=> 4.5, r => 0.5) |> println
2.10000000000000
1.70000000000000
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(b, c) = (5.4/2, 4.5)
a = sqrt(c^2 - b^2)
t = b - c
r = b*c*(4b*t + c*(a - t))/(2(8b^3 - 8b^2*c + c^3 + c^2*a))
y = (b^2 - b*c + r*a)/t
x = (sqrt(-t*(b + c))*(b - r) - c*r)/b
@printf("a = %g; b = %g; c = %g\n", a, b, c)
@printf("r = %g; x = %g; y = %g\n", r, x, y)
@printf("等円の直径は %g 寸である。\n", 2r)
plot([a, 0, -a, 0, a], [0, b, 0, -b, 0], color=:green, lw=0.5)
circle4(r, y, r)
circle4( (r + x)/2, (r + y)/2, r)
circle4(x, r, r)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(r, y, "(r,y)", :red, :right, delta=-delta, deltax=4delta)
point( (r + x)/2, (r + y)/2, "( (r+x)/2,(r+y)/2)", :red, :right, delta=-delta, deltax=6delta)
point(x, r, "(x,r)", :red, :right, delta=-delta, deltax=4delta)
point(0, b, " b", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
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