七四 埼玉県加須市大字外野 棘脱地蔵堂 明治7年(1874)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円4個，正三角形，直線上
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
直線上に正三角形 1 個，大円3個，小円 1 個がある。小円の直径が 1 寸のとき，正三角形の一辺の長さはいかほどか。
少なくとも『埼玉の算額』には，大円は 2 個しか描かれていないが，第 3 の大円は正三角形に内接するものである。
正三角形の高さは，内接する円の半径の 3 倍，一辺の長さは \(2\sqrt{3}\) 倍であることなどを知っていれば，問題は直線の上にある大円の半径を求めることに帰着する。
正三角形の一辺の長さを \(2a\)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (x_1,\ r_1),\ (0,\ 2r_2 + 2r_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2,\ (0,\ r_2)\)
とおき以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms r1::positive, x1::positive, r2::positive
eq1 = x1^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = dist2(0, 2r2, √Sym(3)*r1, 2r2 + 3r1, x1, r1, r1)
(r1, x1) = solve([eq1, eq2], (r1, x1))[1]
r1 = r1 |> expand |> simplify
x1 = x1 |> expand |> simplify
r1 |> println
x1 |> println
2*r2*(sqrt(3) + 2)/3
2*r2*(sqrt(3) + 3)/3
大円の半径は \(2r_2(\sqrt{3} + 2)/3\)，正三角形の一辺の長さは \(2r_2(\sqrt{3} + 2)/3 × 2\sqrt{3}\) である。
小円の直径が 1 のとき，正三角形の一辺の長さは 4.3094010767585 である。
2(1/2)*(√3 + 2)/3 * 2√3
4.309401076758503
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r2 = 1//2
(r1, x1) = (2r2*(√3 + 2)/3, 2r2*(√3 + 3)/3)
a = r1*√3
@printf("小円の直径が %g のとき，正三角形の一辺の長さは %.15g である。\n", 2r2, 2a)
@printf("r2 = %g; r1 = %g; x1 = %g; a = %g\n", r2, r1, x1, a)
plot([-a, 0, a, -a], [2r2 + 3r1, 2r2, 2r2 + 3r1, 2r2 + 3r1], color=:blue, lw=0.5)
circle2(x1, r1, r1, :green)
circle(0, 2r2 + 2r1, r1, :green)
circle(0, r2, r2)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x1, r1, "大円:r1,(x1,r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(0, 2r2 + 2r1, "大円:r1,(0,2r2+2r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(0, r2, "小円:r2\n(0,r2)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(√3r1, 2r2 + 3r1, "(√3r1,2r2+3r1)", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(0, 2r2, "(0,2r2)", :red, :center, delta=-1.5delta)
end
end;
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