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六四埼玉県加須市不動岡総願寺慶應2年(1866)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円4個，外円，正三角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

外円内に正三角形と甲円を 1 個ずつ，乙円を 2 個入れる。甲円の直径と正三角形の一辺の長さが共に 1 寸のとき，乙円の直径はいかほどか。

外円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
甲円の半径と中心座標を \(r_1,\ (0,\ r_1 - R)\)
乙円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ y_2)\)
とおき，以下の連立方程式の解を求める。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms R::positive, a::positive, r1::positive,
r2::positive, x2::positive, y2::negative
(r1, a) = (1, 1) .// 2
eq1 = x2^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq2 = x2^2 + (y2 - r1 + R)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = (a - x2)^2 + (R - a√Sym(3) - y2)^2 - r2^2
eq4 = a√Sym(3) + 2r1 - 2R
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (R, r2, x2, y2));

sqrt(3)/4 + 1/2
-19*sqrt(888 + 534*sqrt(3))/2704 - 9/104 + 3*sqrt(296 + 178*sqrt(3))/338 + 25*sqrt(3)/104
-2*sqrt(888 + 534*sqrt(3))/169 + 3*sqrt(3)/26 + 15/52 + 19*sqrt(296 + 178*sqrt(3))/676
-sqrt(296 + 178*sqrt(3))/52 - sqrt(3)/8 + sqrt(3)*sqrt(296 + 178*sqrt(3))/208 + 3/8

かなり不明な定数が出てくるが，乙円の半径は
-2*sqrt(888 + 534*sqrt(3))/169 + 3*sqrt(3)/26 + 15/52 + 19*sqrt(296 + 178*sqrt(3))/676
である。

res[1][1].evalf() |> println
res[1][2].evalf() |> println
res[1][3].evalf() |> println
res[1][4].evalf() |> println

0.933012701892219
0.248826680729423
0.675359395597227
-0.109545416760023

数値としては，乙円の半径は 0.248826680729423（直径は 0.497653361458846）である。

2*0.248826680729423

0.497653361458846

甲円の直径，正三角形の一辺の長さが共に 1 寸のとき，乙円の直径は 0.497653361458846 寸である。

solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (R, x2, y2, r2)) とすれば，\(r_2\) は若干簡潔な式になる。

その他のパラメータは以下のとおりである。
\(a = 0.5;\ r_1 = 0.5;\ R = 0.933013;\ r_2 = 0.248827\)
\(x_2 = 0.675359;\ y_2 = -0.109545\)

算額の答では，「乙円径五分一厘有奇」となっているがそれだとすると，外円をはみ出す。

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(a, r1) = [1, 1] .//2
(R, r2, x2, y2) = (
sqrt(3)/4 + 1/2,
-19*sqrt(888 + 534*sqrt(3))/2704 - 9/104 + 3*sqrt(296 + 178*sqrt(3))/338 + 25*sqrt(3)/104,
-2*sqrt(888 + 534*sqrt(3))/169 + 3*sqrt(3)/26 + 15/52 + 19*sqrt(296 + 178*sqrt(3))/676,
-sqrt(296 + 178*sqrt(3))/52 - sqrt(3)/8 + sqrt(3)*sqrt(296 + 178*sqrt(3))/208 + 3/8)
@printf("甲円の直径，正三角形の一辺の長さが共に 1 寸のとき，乙円の直径は %.15g 寸である。\n", 2r2)
@printf("a = %g; r1 = %g; R = %g; r2 = %g; x2 = %g; y2 = %g\n", a, r1, R, r2, x2, y2)
plot()
circle(0, 0, R, :blue)
plot!([a, 0, -a, a], [R - √3a, R, R - √3a, R - √3a], color=:green, lw=0.25)
circle(0, r1 - R, r1)
circle(x2, y2, r2, :magenta)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, R - √3a, "(a,R-√3a) ", :green, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(0, r1 - R, "甲円:r1,(0,r1-R)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(x2, y2, "乙円:r2,(x2,y2)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
end
end;