六四 埼玉県加須市不動岡 総願寺 慶應2年(1866)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円3個，半円，二等辺三角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
半円の中に二等辺三角形と等円 3 個を容れる。等円の直径が 1 寸のとき，半円の直径はいかほどか。
二等辺三角形の底辺の長さを \(2a\)
半円の半径と中心座標を \(r_1,\ (0,\ 0)\)
等円の半径と中心座標を \(r_2,\ (0,\ r_2),\ (x_2,\ r_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms d, a::positive, r1::positive, r2::positive,
x2::positive
eq1 = numerator(apart(dist(a, 0, 0, r1, 0, r2) - r2^2, d))
eq2 = numerator(apart(dist(a, 0, 0, r1, x2, r2) - r2^2, d))
eq3 = x2^2 + r2^2 - (r1 - r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (a, r1, x2))
(r2*sqrt(sqrt(2) + 2 + sqrt(2*sqrt(2) + 3))/sqrt(1 + sqrt(2)), r2*(1 + sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*sqrt(2 + 2*sqrt(2)))
res[2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
r2*(sqrt(2) + 2)
半円の半径は等円の半径の \(1 + \sqrt{2\sqrt{2} + 3} = \sqrt{2} + 2\) 倍である。
等円の直径が 1 寸のとき，半円の直径は 3.414213562373095 寸である。
算額では「術曰置二個開平方加二個乗等円径得半円径合問」は，「等円の直径の \(\sqrt{2} + 2\) 倍」である。
その他のパラメータは以下のとおりである。
\(r_2 = 0.5;\ a = 0.776887;\ r_1 = 1.70711;\ x_2 = 1.09868\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r2 = 1/2
(a, r1, x2) = (r2*sqrt(sqrt(2) + 2 + sqrt(2*sqrt(2) + 3))/sqrt(1 + sqrt(2)), r2*(1 + sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*sqrt(2 + 2*sqrt(2)))
@printf("等円の直径が %g のとき，半円の直径は %g である\n", 2r2, 2r1)
@printf("r2 = %g; a = %g; r1 = %g; x2 = %g\n", r2, a, r1, x2)
plot(ylims=(-0.15, 1.85))
circle(0, 0, r1, beginangle=0, endangle=180)
circle(0, r2, r2, :blue)
circle2(x2, r2, r2, :blue)
segment(0, r1, a, 0, :green)
segment(0, r1, -a, 0, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, 0, "a", :green, :center, delta=-delta)
point(0, r1, "r1", :red, :center, :bottom, delta=delta)
point(r1, 0, "r1", :red, :center, delta=-delta)
point(0, r2, "等円:r2,(0,r2)", :blue, :center, delta=-delta)
point(x2, r2, "等円:r2,(x2,r2)", :blue, :center, delta=-delta)
point(0, 0, "", :red)
end
end;
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