宮城県栗原市瀬峰泉谷 瀬峰泉谷熊野神社 天保6年(1835) 昭和61年(1986) 復元奉納
徳竹亜紀子，谷垣美保，萬伸介：瀬峰泉谷熊野神社奉納算額をめぐる諸問題，仙台高等専門学校名取キャンパス 研究紀要 第60号(2024)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/nitsendainatori/60/0/60_1/_pdf/-char/ja
キーワード：円5個，外円，円弧
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
外円内に円弧，甲円，乙円を容れる。円弧は外円と同じ半径で周長は外円の 1/3 である。乙円の直径が 3 寸のとき，甲円の直径はいかほどか。
円弧は外円の中心を通る。
外円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
甲円の半径と中心座標を \(r_1,\ (r_1,\ y_1)\)
乙円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ y_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, y1::positive,
r2::positive, x2::positive, y2::negative
#r2 = 3
eq1 = r1^2 + (y1 + R)^2 - (r1 + R)^2
eq2 = x2^2 + (R + y2)^2 - (r2 + R)^2
eq3 = (x2 - r1)^2 + (y1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2
eq4 = r1^2 + y1^2 - (R - r1)^2
eq5 = x2^2 + y2^2 - (R - r2)^2;
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (R, r1, y1, x2, y2));
res[2]
(4*r2*(109282*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 63094*sqrt(6322680*sqrt(3) + 10951203) + 319330453 + 184365523*sqrt(3))/(3*(14764*sqrt(3)*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 25572*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 47909161*sqrt(3) + 82981101)), r2*(258564*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 149282*sqrt(6322680*sqrt(3) + 10951203) + 755543964 + 436213511*sqrt(3))/(3*(34932*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 20168*sqrt(3)*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 113354292 + 65445131*sqrt(3))), 4*r2*(23094*sqrt(6322680*sqrt(3) + 10951203) + 40000*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 67482465*sqrt(3) + 116883058)/(3*(14764*sqrt(3)*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 25572*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 47909161*sqrt(3) + 82981101)), -260*sqrt(3)*r2*sqrt(62400*sqrt(3)*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 108080*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 187572840*sqrt(3) + 324885689) + 1351*r2*sqrt(62400*sqrt(3)*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 108080*sqrt(2107560*sqrt(3) + 3650401) + 187572840*sqrt(3) + 324885689)/3, -5404*r2*sqrt(6322680*sqrt(3) + 10951203)/9 - 10*sqrt(3)*r2/9 + 2*r2 + 1040*sqrt(3)*r2*sqrt(6322680*sqrt(3) + 10951203)/3)
2 組の解が得られるが，2 番目のものが適解である。
桁数の多い数値を含む複雑な式が得られるが，簡約化すると非常に単純な解になる。
\(R, r_1, y_1, x_2, y_2\) の結果は以下のようになる。
res[2][1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
res[2][2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
res[2][3] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
res[2][4] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
res[2][5] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
28*sqrt(3)*r2/9
7*r2/3
-14*sqrt(3)*r2/9 + 14*r2/3
13*r2/3
2*r2*(9 - 7*sqrt(3))/9
甲円の半径 \(r_1\) は乙円の半径 \(r_2\) の 7/3 倍である。
乙円の直径が 3 寸のとき，甲円の直径は 7 寸である。
2res[2][2](r2 => 3/2).evalf() |> println
7.00000000000000
その他のパラメータは以下のとおりである。
\(R = 8.0829;\ r_1 = 3.5;\ y_1 = 2.95855;\ x_2 = 6.5;\ y_2 = -1.04145\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, showaxis=true, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r2 = 3//2
(R, r1, y1, x2, y2) = r2 .* (
28√3/9,
7/3,
(42 - 14√3)/9,
13/3,
(18 - 14√3)/9)
@printf("甲円の直径 = %g\n", 2r1)
@printf("R = %g; r1 = %g; y1 = %g; x2 = %g; y2 = %g\n", R, r1, y1, x2, y2)
plot()
circle(0, 0, R)
circle(0, -R, R, beginangle=30, endangle=150)
circle2(r1, y1, r1, :green)
circle2(x2, y2, r2, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(r1, y1, "甲円:r1,(r1,y1)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(x2, y2, "乙円:r2\n(x2,y2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
point(R, 0, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
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