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藤田貞資：精要算法（下巻）天明元年(1781)

http://www.wasan.jp/seiyou/seiyou.html
キーワード：円13個
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

大円の周りに中円と小円が，大円と同時に隣の円とも外接するように配置されている。
大円と小円の直径がそれぞれ 21707 寸，5759 寸のとき，中円の直径はいかほどか。
なお，大円と小円の直径が上述の数値の場合には精要算法に示された図とはイメージがかなり異なる。小円の直径が 6800 寸程度の場合によく似た図（下図）になる。

大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (0,\ 0)\)
中円の半径と中心座標を \(r_2,\ (0,\ r_1 + r_2)\)
小円の半径と中心座標を \(r_3,\ (x_3,\ y_3),\ (x_4,\ y_4), (x_5,\ y_5)\)
中円と小円の中心から大円の中心へ引いた2本の直線のなす角を \(\theta\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
eq3，eq4, eq5 は第二余弦定理を援用した。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms r1, r2, r3, x3, y3, x4, y4, x5, y5, θ
eq1 = x3^2 + y3^2 - (r1 + r3)^2
eq2 = x3^2 + (r1 + r2 - y3)^2 - (r2 + r3)^2
eq3 = (x4 - x3)^2 + (y3 - y4)^2 - 4r3^2
eq4 = (r1 + r2)^2 + (r1 + r3)^2 - 2(r1 + r2)*(r1 + r3)cos(θ) - (x3^2 + (r1 + r2 - y3)^2)
eq5 = 2(r1 + r3)^2 - 2(r1 + r3)^2*cos(PI/3 - θ) - ( (x3 - x4)^2 + (y3 - y4)^2)
eq6 = (r1 + r2)^2 + (r1 + r3)^2 - 2(r1 + r2)*(r1 + r3)cos(PI/3) - (x4^2 + (r1 + r2 - y4)^2);

# res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6], (r2, x3, y3, x4, y4, θ))

function H(u)
(r2, x3, y3, x4, y4, θ) = u
return [
x3^2 + y3^2 - (r1 + r3)^2, # eq1
x3^2 - (r2 + r3)^2 + (r1 + r2 - y3)^2, # eq2
-4*r3^2 + (-x3 + x4)^2 + (y3 - y4)^2, # eq3
-x3^2 + (r1 + r2)^2 + (r1 + r3)^2 - (r1 + r3)*(2*r1 + 2*r2)*cos(θ) - (r1 + r2 - y3)^2, # eq4
-2*(r1 + r3)^2*sin(θ + pi/6) + 2*(r1 + r3)^2 - (x3 - x4)^2 - (y3 - y4)^2, # eq5
-x4^2 - (r1/2 + r3/2)*(2*r1 + 2*r2) + (r1 + r2)^2 + (r1 + r3)^2 - (r1 + r2 - y4)^2, # eq6
]
end;

(r1, r3) = (21707, 5759) .// 2
# (r1, r3) = (21707, 6800) .// 2
r1r3 = r1 + r3
iniv = BigFloat[r1r3, r1r3*cos(pi/3), r1r3*sin(pi/3), r1r3*cos(pi/6), r1r3*sin(pi/6), pi/6]
res = nls(H, ini=iniv)

([8893.500000000004, 8031.882766640407, 11139.306451612903, 11893.126870171644, 6866.499999999951, 0.624707483913989], true)

中円の直径は 17787 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

\(r_2 = 8893.5;\ x_3 = 8031.88;\ y_3 = 11139.3;\)
\(x_4 = 11893.1;\ y_4 = 6866.5;\ \theta = 0.624707\)

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(r2, x3, y3, x4, y4, θ) = res[1]
@printf("中円の直径 = %g\n", 2r2)
@printf("r2 = %g; x3 = %g; y3 = %g; x4 = %g; y4 = %g; θ = %g\n", r2, x3, y3, x4, y4, θ)
plot()
circle(0, 0, r1)
rotate(0, r1 + r2, r2, :blue)
#circle2(x3, y3, r3, :green)
#circle2(x4, y4, r3, :green)
rotate(x3, y3, r3, :green)
rotate(x4, y4, r3, :green)
x5 = (r1 + r3)*cos(θ - pi/6)
y5 = (r1 + r3)*sin(θ - pi/6)
rotate(x5, y5, r3, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
end
end;