埼玉県東松山市 岩殿観音（正法寺） 文政6年(1823)
山口正義：やまぶき，第30号
https://yamabukiwasan.sakura.ne.jp/ymbk30.pdf
二四 武州比企郡紫竹村 観世音堂 文政6年(1823)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円6個，半円，正三角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
外円（半円）内に大円，小円，正三角形，および正三角形内に全名円，等円を容れる。正三角形の一辺の長さは外円の半径に等しい。等円の直径が与えられたとき，外円，大円，小円の直径を求めよ。
外円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (x_1,\ r_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ r_2)\)
正三角形の一辺の長さは \(R\)
全名円の半径と中心座標を \(r_3,\ (-R/2,\ r_3)\)
等円の半径と中心座標を \(r_4,\ (x_4,\ r_4);\ x_4 < 0\)
とおく。
大円，小円の配置と正三角形及びその内部の円の配置は独立である。
既知の変数は \(r_4\) であるが，まずは \(R\) を基準として正三角形の内部の全名円，等円のパラメータを求める。
全名円の半径は \(r_3 = \sqrt{3}R/6\) であることはすぐわかる。
\(r_4,\ x_4\) については以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, x1::positive, r2::positive, x2::positive,
r3::positive, r4::positive, x4::negative
s3 = sqrt(Sym(3))
r3 = (R/2)/s3
eq1 = r4*(R/2) + r3*x4
eq2 = (R/2 + x4)^2 + (r3 - r4)^2 - (r3 + r4)^2;
res1 = solve([eq1, eq2], (r4, x4))[1] # 1 of 2
(sqrt(3)*R/18, -R/6)
等円の半径 \(r_4\) は \(r_4 = R\sqrt{3}/18\) である。\(r_4\) が既知であるならば，\(R = 18r_4/\sqrt{3}\) である。つまり，外円の直径は等円の直径の \(18/\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) である。
また，先に述べた全円の半径 \(r_3\) は \(r_3 = \sqrt{3}R/6 = \sqrt{3}(18r_4/\sqrt{3})/6 = 3r_4\) である。
ついで，\(R = 18r_4/\sqrt{3}\) として，大円と小円のパラメータを求める。
R = 18r4/s3
eq3 = x1^2 + r1^2 - (R - r1)^2
eq4 = x2^2 + r2^2 - (R - r2)^2
eq5 = (x2 - x1)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq6 = dist(-R/2, s3*R/2, 0, 0, x1, r1) - r1^2;
res = solve([eq3, eq4, eq5, eq6], (r1, x1, r2, x2));
それぞれは若干長い式になるが，二重根号を外すなどの簡約化を行うと以下のようになる。
# r1
res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
18*r4*(2 - sqrt(3))
# x1
res[2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
6*r4*(-3 + 2*sqrt(3))
＃r2
res[3] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
18*r4*(-62*sqrt(2) - 41*sqrt(3) + 24*sqrt(6) + 150)/529
# x2
res[4] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
6*r4*(-12*sqrt(2) - 2*sqrt(3) + 9 + 18*sqrt(6))/23
大円の直径は等円の直径の \(18(2 - \sqrt{3})\) 倍，小円の直径は等円の直径の \(18(24\sqrt{6} - 62\sqrt{2} - 41\sqrt{3} + 150)/529\) 倍である。
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
s3 = √3
r4 = 1
R = 18r4/s3
x4 = -R/6
r3 = R/2s3
(r1, x1, r2, x2) = r4 .* (18(2 - √3), 6(2√3 - 3), 18(24√6 - 62√2 - 41√3 + 150)/529, 6(18√6 - 12√2 - 2√3 + 9)/23)
@printf("R = %g; r1 = %g; x1 = %g; r2 = %g; x2 = %g; r3 = %g; r4 = %g; x4 = %g\n", R, r1, x1, r2, x2, r3, r4, x4)
plot([-R, 0, -R/2, -R], [0, 0, R√3/2, 0], color=:black, lw=0.5)
circle(0, 0, R, beginangle=0, endangle=180)
circle(x1, r1, r1, :blue)
circle(x2, r2, r2, :orange)
circle(-R/2, r3, r3, :green)
circle(x4, r4, r4, :magenta)
circle(-R - x4, r4, r4, :magenta)
circle(-R/2, 2r3 + r4, r4, :magenta)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(R, 0, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(x1, r1, "大円:r1,(x1,r1)", :blue, :center, delta=-delta)
point(x2, r2, "小円:r2\n(x2,r2)", :black, :center, delta=-delta)
point(-R/2, r3, "全名円:r3\n(-R/2,r3)", :green, :center, delta=-delta)
point(x4, r4, "等円:r4,(x4,r4)", :magenta, :left, delta=-delta)
end
end;
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