三五 埼玉県大宮市中釘 秋葉神社 天保11年(1840)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
埼玉県さいたま市西区中釘 秋葉神社 天保11年(1840)
山口正義：やまぶき，第20号
https://yamabukiwasan.sakura.ne.jp/ymbk20.pdf
キーワード：円4個，外円，弦
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
外円の中に長さが 4 寸 8 分の水平な弦を引きその上下に大円と小円を置く。小円の直径が 1 寸 8 分のとき，大円の直径はいかほどか。
外円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (x_1,\ y + r_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ y + r_2),\ (0,\ r_2 - R)\)
弦と \(y\) 軸の交点座標を \( (0,\ y);\ y < 0\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, y::negative,
r1::positive, x1::negative,
r2::positive, x2::positive, 弦::positive
y = -sqrt(R^2 -(弦/2)^2)
eq1 = x1^2 + (y + r1)^2 - (R - r1)^2
eq2 = x2^2 + (y + r2)^2 - (R - r2)^2
eq3 = (x2 - x1)^2 + (r2 - r1)^2 - (r2 + r1)^2
eq4 = 2r2 - R - y
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (R, r1, x1, x2))[2]; # 2 of 2
# r1
res[2] |> println
r2*(48*r2^2*弦^2 + 8*r2*sqrt(-16*r2^2 + 弦^2 + sqrt(256*r2^4 - 32*r2^2*弦^2 + 弦^4))*sqrt(256*r2^4 + 32*r2^2*弦^2 - 16*r2^2*sqrt(256*r2^4 - 32*r2^2*弦^2 + 弦^4) + 弦^4 - 弦^2*sqrt(256*r2^4 - 32*r2^2*弦^2 + 弦^4)) + 弦^4 - 弦^2*sqrt(256*r2^4 - 32*r2^2*弦^2 + 弦^4))/(1280*r2^4 + 32*r2^2*弦^2 - 48*r2^2*sqrt(256*r2^4 - 32*r2^2*弦^2 + 弦^4) + 弦^4 - 弦^2*sqrt(256*r2^4 - 32*r2^2*弦^2 + 弦^4))
2*res[2](r2 => 18/20, 弦 => 4.8) |> println
2.92287565553230
小円の直径が 1.8 寸，弦の長さが 4.8 寸のとき，大円の直径は 2.92287565553230 寸である。
「術」には 「二寸四ト令二毛有奇」とあるが，算額に書くときに間違えたようだ。
その他のパラメータは以下のとおりである。
\(R = 2.5;\ y = -0.7;\ r_1 = 1.46144;\ x_1 = -0.706275;\ x_2 = 1.58745\)
SymPy では簡約化できないが，手動で以下のように簡約化できる
まず，複数回出てくる \(\sqrt{256 r_2^4 - 32 r_2^2 弦^2 + 弦^4}\) を \( (弦 - 4r_2) (弦 + 4r_2)\) に簡約化する
t = res[2](sqrt(256r2^4 - 32r2^2*弦^2 + 弦^4) => (弦^2 - 16r2^2)) |> factor
t(r2 => 18/20, 弦 => 4.8).evalf() |> println
t |> println
1.46143782776615
(8*r2*弦^2 + sqrt(2)*sqrt(-16*r2^2 + 弦^2)*sqrt(512*r2^4 + 32*r2^2*弦^2))/(256*r2^2)
次に，\( (-32r2^2 + 2弦^2) (512 r_2^4 + 32 r_2^2*弦^2)\) を簡約化して \(64 r_2^2 (-256 r_2^4 + 弦^4)\) とする。
t = (8*r2*弦^2 + sqrt(64*r2^2*(-256*r2^4 + 弦^4)))/(256*r2^2) |> simplify
t(r2 => 18/20, 弦 => 4.8).evalf() |> println
t |> println
1.46143782776615
(弦^2 + sqrt(-256*r2^4 + 弦^4))/(32*r2)
最終的に，大円の半径は \(\displaystyle \frac{弦^2 + \sqrt{弦^4 - 256 r_2^4}}{32r_2}\) と簡約化できた。
( (弦^2 + sqrt(弦^4 - 256r2^4))/(32r2))(r2 => 18/20, 弦 => 4.8).evalf() |> println
1.46143782776615
# R
res[1] |> println
res[1](r2 => 18/20, 弦 => 4.8).evalf() |> println
r2 + 弦^2/(16*r2)
2.50000000000000
# x1
t = res[3](sqrt(256r2^4 - 32r2^2*弦^2 + 弦^4) => (弦^2 - 16r2^2))
t |> println
t(r2 => 18/20, 弦 => 4.8).evalf() |> println
sqrt(2)*(8*r2^2*sqrt(-32*r2^2 + 2*弦^2) - 2*r2*sqrt(256*r2^4 + 32*r2^2*弦^2 - 16*r2^2*(-16*r2^2 + 弦^2) + 弦^4 - 弦^2*(-16*r2^2 + 弦^2)))/(64*r2^2)
-0.706274606680623
t |> println
sqrt(2)*(8*r2^2*sqrt(-32*r2^2 + 2*弦^2) - 2*r2*sqrt(256*r2^4 + 32*r2^2*弦^2 - 16*r2^2*(-16*r2^2 + 弦^2) + 弦^4 - 弦^2*(-16*r2^2 + 弦^2)))/(64*r2^2)
\(256 r_2^4 + 32 r_2^2 弦^2 - 16 r_2^2 (-16 r_2^2 + 弦^2) + 弦^4 - 弦^2 (-16 r_2^2 + 弦^2)\) は \(32 r_2^2 (16 r_2^2 + 弦^2)\) に簡約化できる。
t = sqrt(Sym(2))*(8*r2^2*sqrt(-32*r2^2 + 2*弦^2) - 2*r2*sqrt(32r2^2*(16r2^2 + 弦^2)))/(64*r2^2) |> factor
t |> println
t(r2 => 18/20, 弦 => 4.8).evalf() |> println
(sqrt(-16*r2^2 + 弦^2) - sqrt(16*r2^2 + 弦^2))/4
-0.706274606680623
t = -sqrt(2*弦^2 - 2*sqrt(-256*r2^4 + 弦^4))/4
t |> println
t(r2 => 18/20, 弦 => 4.8).evalf() |> println
-sqrt(2*弦^2 - 2*sqrt(-256*r2^4 + 弦^4))/4
-0.706274606680623
# x2
t = res[4](sqrt(256r2^4 - 32r2^2*弦^2 + 弦^4) => (弦^2 - 16r2^2)) |> simplify
t |> println
t(r2 => 18/20, 弦 => 4.8).evalf() |> println
sqrt(-16*r2^2 + 弦^2)/2
1.58745078663875
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(r2, 弦, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
R = r2 + 弦^2/(16*r2)
r1 = (弦^2 + sqrt(弦^4 - 256r2^4))/32r2
x1 = -sqrt(2*弦^2 - 2*sqrt(弦^4 - 256*r2^4))/4
x2 = sqrt(弦^2 - 16*r2^2)/2
y = -sqrt(R^2 - (弦/2)^2)
@printf("大円の直径 = %g; R = %g; y = %g; r1 = %g; x1 = %g; x2 = %g\n", 2r1, R, y, r1, x1, x2)
plot()
circle(0, 0, R, :green)
circle(x1, y + r1, r1)
circle(x2, y + r2, r2, :blue)
segment(-4.8/2, y, 4.8/2, y)
circle(0, r2 - R, r2, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, y, " y", :black, :left, :bottom, delta=delta)
point(0, r2 - R, " 小円:r2,(0,r2-R)", :blue, :center, delta=-delta)
point(x2, y + r2, " 小円:r2,(x2,y+r2)", :blue, :center, delta=-delta)
point(x1, y + r1, " 大円:r1,(x1,y+r1)", :red, :center, delta=-delta)
point(R, 0, " R", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
draw(1.8/2, 4.8, true)
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