https://sangaku0418.hatenablog.com/entry/2024/02/21/151909

八六埼玉県加須市多聞寺愛宕神社明治13年(1880)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

埼玉の算額ほか
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/saitama-sangaku-h24.html
愛宕神社の復元算額　明治13年（部分拡大図）（加須市）
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/sangak-corner/atago-3s.jpg

キーワード：円13個，外円，正三角形，正六角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

外円に内接する正六角形，正三角形があり，甲円，乙円 3 個ずつを容れる。
ただし，甲円は外円に内接し，正三角形，正六角形に外接する。また，甲円は正三角形に外接し，正六角形に内接する。
乙円の直径が 1.5 寸のとき，外円の直径はいかほどか。

外円の直径を 1 として正三角形，正六角形，甲円，乙円を定め，乙円の直径と外円の直径の比に基づいて乙円の直径が 1.5 寸のときの外円の直径を求める。

外円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
甲円の半径と中心座標を \(r_1,\ (x_1,\ y_1)\)
乙円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ y_2)\)
として以下の連立方程式を解く。

まず，半径 \(R = 1/2\) の外円と，外円に内接する正六角形に内接し，正三角形に外接する円（甲円）の半径 \(r_1\) と中心座標 \( (x_1,\ y_1)\) を求める。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms x1::positive, y1::positive, r1::positive, R::positive
s3 = sqrt(Sym(3))
R = 1//2
eq0 = s3*R/2 - r1 - x1
eq1 = x1^2 + y1^2 - (R - r1)^2
eq2 = dist(0, R, s3*R//2, -R//2, x1, y1) - r1^2
res1 = solve([eq0, eq1, eq2], (x1, y1, r1))[1]

(-11*sqrt(3)/4 - sqrt(73 - 40*sqrt(3)) + 7, -949*sqrt(219 - 120*sqrt(3))/529 - 520*sqrt(3)*sqrt(219 - 120*sqrt(3))/529 - 5/4 + sqrt(3) + 880*sqrt(3)*sqrt(73 - 40*sqrt(3))/529 + 1606*sqrt(73 - 40*sqrt(3))/529, -7 + sqrt(73 - 40*sqrt(3)) + 3*sqrt(3))

res1[1][1].evalf(), res1[1][2].evalf(), res1[1][3].evalf()

(0.308657048910078, 0.214101615137755, 0.124355652982141)

半径 \(R = 1\) の外円に内接する正六角形に内接し，正三角形に外接する円（乙円）の半径 \(r_2\) と中心座標 \( (x_2,\ y_2)\) を求める。

using SymPy
@syms x2, y2, r2, R
s3 = sqrt(Sym(3))
R = 1//2
eq0 = s3*R//2 - r2 - x2
eq1 = (R//2 + r2)*cosd(Sym(30)) - x2
eq2 = (R//2 + r2)*sind(Sym(30)) - y2
res2 = solve([eq0, eq1, eq2], (x2, y2, r2))

Dict{Any, Any} with 3 entries:
y2 => -1/4 + sqrt(3)/4
x2 => 3/4 - sqrt(3)/4
r2 => -3/4 + sqrt(3)/2

(3/4 - sqrt(3)/4, -1/4 + sqrt(3)/4, -3/4 + sqrt(3)/2)

(0.3169872981077807, 0.1830127018922193, 0.1160254037844386)

外円の半径が \(R = 1/2\) のとき，乙円の半径は 0.116025403784439 になる。

乙円の半径が 1.5/2 なら外円の直径は 6.464101615137762 寸である。

「答」では 6.5 寸となっている。
「術」も，「乙円の直径を 13 倍して，3 で割る」ということなので \(1.5\times 13/3 = 6.5\) ということになる。

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
R = 1//2
plot([√3, 0, -√3, √3].*R/2, [-1, 2, -1, -1].*R/2, color=:green, lw=0.5)
plot!([√3, √3, 0, -√3, -√3, 0, √3].*R/2, [-1, 1, 2, 1, -1, -2, -1].*R/2, color=:blue, lw=0.5)
circle(0, 0, R)
(x1, y1, r1) = (0.308657048910078, 0.214101615137755, 0.124355652982141)
rotate(x1, y1, r1, :magenta, angle=60)
(x2, y2, r2) = (0.316987298107781, 0.183012701892219, 0.116025403784439)
rotate(x2, y2, r2, :brown, angle=60)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x1, y1, " 甲円:r1,(x1,y1)", :magenta, :left, :vcenter)
point(x2, y2, " 乙円:r2,(x2,y2)", :brown, :left, :vcenter)
point(√3R/2, R/2, " (√3R/2,R/2)", :red, :left, :vcenter)
# plot!(xlims=(0.15, 0.5), ylims=(0.05, 0.35))
end
end;