八六 埼玉県加須市多聞寺 愛宕神社 明治13年(1880)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
埼玉の算額ほか
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/saitama-sangaku-h24.html
愛宕神社の復元算額 明治13年（部分拡大図）（埼玉県加須市）
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/sangak-corner/atago-3s.jpg
キーワード：円11個，外円，菱形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
直径が 25 寸の外円の中に，菱形 1 個，甲円 2 個，乙円 8 個が入っている。左右にある 2 個の乙円は甲円に内接している。菱形の短い方の対角線（菱平）はいかほどか。
外円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
甲円の半径と中心座標を \(r_1,\ (R/2,\ 0)\)
第一象限にある 2 個の乙円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ r_2), (r_2,\ y_2)\)
菱形の短い方の対角線（菱平）の長さを b とする。菱形の長い方の対角線は外円の周上にある。
第一象限の上方にある中心座標が \( (r_2,\ y_2)\) の乙円は菱形の斜辺に接している。
この問題は，条件が足りないように思える。
そもそも，答えでは「菱平は四寸四分六厘七毛有奇」とあるが，外円の半径が 12.5 寸なのに，菱平が 4.467 寸ほどしかないような図は存在しないない。
算額でよくあるように，答えがきれいな数になるような条件を探索すると，乙円の直径が2寸のときに菱平が 22.008990377897288 になることがわかる。
このときの図は以下のようになる。
よって，この問題は条件，「乙円の直径が2寸のとき」を追加して解く。
なお，術にも数文字の欠損が見られ，問・答・術を通じて真実はわからない。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, b::positive, r1::positive,
r2::positive, x2::positive, y2::positive
R = 25//2
r1 = R/2
r2 = 2//2
eq1 = (x2 - r1)^2 + r2^2 - (r1 - r2)^2
eq2 = dist(0, b, R, 0, r2, y2) - r2^2
eq3 = r2^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq4 = r2/(R - x2) - b/R
res = solve([eq1, eq2, eq3], (x2, y2, b))[3] # 3 of 4
(5*sqrt(17)/4 + 25/4, 5*sqrt(42)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/521 + 115*sqrt(21)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/1042, 5*sqrt(179/28 - 23*sqrt(2)/21))
4組の解が得られるが，3 番目のものが適解である。
これに従うと，菱平は22寸有奇ということになる。
res[3][3] |> sympy.sqrtdenest |> println
res[3][3].evalf()*2 |> println
5*sqrt(21)*(23 - 2*sqrt(2))/42
22.0089903778973
その他のパラメータは以下のとおりである。
\(R = 12.5;\ r_1 = 6.25;\ r_2 = 1;\ x_2 = 11.4039;\ y_2 = 11.4564;\ b = 11.0045\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
R = 25//2
r1 = R/2
r2 = 2//2 # 追加条件
(x2, y2, b) = (5*sqrt(17)/4 + 25/4, 5*sqrt(42)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/521 + 115*sqrt(21)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/1042, 5*sqrt(179/28 - 23*sqrt(2)/21))
println("菱平（短い方の対角線） = ", 2b)
@printf("R = %g; r1 = %g; r2 = %g; x2 = %g; y2 = %g, b = %g\n", R, r1, r2, x2, y2, b)
plot([R, 0, -R, 0, R], [0, b, 0, -b, 0], color=:black, lw=0.5)
circle(0, 0, R, :magenta)
circle4(r2, y2, r2)
circle4(x2, r2, r2)
circle(r1, 0, r1, :blue)
circle(-r1, 0, r1, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
point(r2, x2, " 乙円:r2,(r2,y2)", :black, :left, :vcenter)
point(x2, r2, " 乙円:r2,(x2,r2)", :black, :left, :vcenter)
point(R, 0, " R", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(r1, 0, "甲円:r1\n(r1,0)", :blue, :center, delta=-delta/2)
point(0, b, " b", :black, :left, :top, delta=-2delta)
end
end;
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