和算図形問題あれこれ 令和3年12月の問題2
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キーワード：円7個，二等辺三角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
二等辺三角形の内外に甲円 2 個を置き，その間に乙円，丙円，丁円を容れる。甲円の直径が 6寸のとき，乙円，丙円，丁円の直径と三角形の底辺の長さを求めよ。
三角形の底辺の長さを \(2a とする。\)
甲円の半径と中心座標を \(r_1,\ (0,\ r_1),\ (0,\ 3r_1)\)
乙円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ y_2)\)
丙円の半径と中心座標を \(r_3,\ (0,\ 2r_1 + r_3)\)
丁円の半径と中心座標を \(r_4,\ (x_4,\ y_4)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
SymPy の能力上，まとめて解くことができないようなので，最初に独立な 3 変数の解を求め，続いてそれらが既知として残りのパラメータを求める。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, y2::positive, a::positive, r3::positive, r4::positive, x4::positive, y4::positive
sinθ = r1/3r1
eq1 = (4r1 - (2r1 + r3))sinθ - r3
eq2 = a/sqrt( (4r1)^2 + a^2) - sinθ
eq3 = r1*sinθ - (r1 - 2r2);
res1 = solve([eq1, eq2, eq3], (a, r2, r3))
Dict{Any, Any} with 3 entries:
r3 => r1/2
a => sqrt(2)*r1
r2 => r1/3
乙円，丙円の直径，底辺の長さは甲円の直径の \(1/3，1/2， \sqrt{2}\) 倍である。
甲円の直径が 6 寸のとき，乙円，丙円の直径は 2 寸，3 寸である。底辺の長さは \(6\sqrt{2} ≒ 8.48528\) 寸である。
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, y2::positive, a::positive, r3::positive, r4::positive, x4::positive, y4::positive
(a, r2, r3) = r1 .* (sqrt(Sym(2)), 1//3, 1//2)
eq4 = x4^2 + (3r1 - y4)^2 - (r1 + r4)^2
eq5 = x4^2 + (y4 - r1)^2 - (r1 + r4)^2
eq6 = distance(0, 4r1, a, 0, x4, y4) - r4^2
eq7 = x2^2 + (y2 - 3r1)^2 - (r1 - r2)^2
eq8 = (y2 - 3r1)/x2 *(-4r1)/a + 1
res2 = solve([eq4, eq5, eq6, eq7, eq8], (x2, y2, r4, x4, y4))[2] # 2 of 2
(4*sqrt(2)*r1/9, 29*r1/9, 2*r1*(7 - 4*sqrt(3)), -2*sqrt(2)*r1*(35 - 21*sqrt(3))/7, 2*r1)
丁円の直径は甲円の直径の \(2(7-4\sqrt{3})\) 倍である。
甲円の直径が 6 寸のとき，丁円の直径は \(6\cdot 2(7-4\sqrt{3}) ≒ 0.861561\) である。
\(乙円の直径= 2;\ 丙円の直径 = 3;\ 丁円の直径(12(7-4\sqrt{3})) = 0.861561;\ 底辺(6\sqrt{2}) = 8.48528\)
その他のパラメータは以下の通り。
\(a = 4.24264;\ r_1 = 3;\ r_2 = 1;\ r_3 = 1.5;\ r_4 = 0.430781\)
\(x_2 = 1.88562;\ y_2 = 9.66667;\ x_4 = 1.66441;\ y_4 = 6\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = 6//2
(a, r2, r3) = r1 .* (sqrt(Sym(2)), 1//3, 1//2)
(x2, y2, r4, x4, y4) = r1 .* (4*sqrt(2)/9, 29/9, 2(7 - 4*sqrt(3)), -2*sqrt(2)*(35 - 21*sqrt(3))/7, 2)
@printf("乙円の直径 = %g; 丙円の直径 = %g; 丁円の直径 = %g; 底辺 = %g\n", 2r2, 2r3, 2r4, 2a)
@printf("a = %g; r1 = %g; r2 = %g; r3 = %g; r4 = %g; x2 = %g; y2 = %g; x4 = %g; y4 = %g\n", a, r1, r2, r3, r4, x2, y2, x4, y4)
plot([a, 0, -a, 0], [0, 4r1, 0, 0], color=:orange, lw=0.5)
circle(0, r1, r1)
circle(0, 3r1, r1)
circle(0, 2r1 + r3, r3, :blue)
circle(x2, y2, r2, :green)
circle(-x2, y2, r2, :green)
circle(x4, y4, r4, :black)
circle(-x4, y4, r4, :black)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
point(0, r1, " 甲円:r1,(0,r1)", :red, :left, :vcenter)
point(0, 3r1, " 3r1", :red, :left, :vcenter)
point(x2, y2, "乙円:r2\n(x2,y2)", :green, :center, :top, delta=-delta/2)
point(0, 2r1 + r3, " 丙円:r3\n (0,2r1+r3)", :blue, :left, :vcenter)
point(x4, y4, " 丁円:r4,(x4,y4)", :black, :left, :vcenter)
point(a, 0, "a", :black, :left, :bottom, delta=delta)
point(0, 4r1, " 4r1", :black, :left, :bottom)
end
end;
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