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七十二群馬県富岡市一ノ宮貫前神社嘉永2年(1849)

群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.

群馬の算額 72-4 貫前神社嘉永2年(1849)

http://takasakiwasan.web.fc2.com/gunnsann/g072-4.html

キーワード：円3個，円弧，弦，斜線
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

弧（弓形）の中に 2 本の斜線を容れ，各領域に 3 個の等円を容れる。弦の長さが 8 寸，矢の長さが 3 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

弧を円の一部に含む円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
弦と \(y\) 軸の交点の座標を \( (0,\ y)\)
等円の半径と中心座標を \(r,\ (0,\ y + r),\ (x,\ y + r)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy

@syms R::positive, r::positive, x::positive, y::positive, a::positive, 矢::positive, 弦::positive

eq1 = y + 矢 - R
eq2 = sqrt(R^2 - y^2) - 弦/2
eq3 = x^2 + (y + r)^2 - (R - r)^2
eq4 = r/(矢 - r) - a/sqrt(矢^2 + a^2)
eq5 = distance(0, R, a, y, x, y + r) - r^2
eq5 = 2r/x - 矢/sqrt(矢^2 + a^2)
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (R, r, x, y, a))[1]; # 1 of 7
res |> println

(弦^2/(8*矢) + 矢/2, 矢*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))), 弦*sqrt(-sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))/(2*sqrt(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))), 弦^2/(8*矢) - 矢/2, sqrt(矢)*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/2)

res[2] |> println

矢*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))

SymPy では簡約化できないようなので，手動で簡約化する。
分母の有理化のために分子・分母に (sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) - sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))) を掛ける。

num = numerator(res[2]) * (sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) - sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)));
den = denominator(res[2]) * (sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) - sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)));

num2 = num |> expand |> simplify
num2 |> println

矢*(-弦 - 2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))

den2 = den |> expand |> simplify
den2 |> println

-4*矢

num2/den2 |> factor |> println

-(-弦 - 2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/4

等円の半径は「弦 + 2矢 - sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/4」である。

(矢, 弦) = (3, 8)
(弦 + 2矢 - sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/4

1.0

その他のパラメータは以下の通り。

\(R = 4.16667;\ r = 1;\ x = 2.3094;\ y = 1.16667;\ a = 1.73205\)
\(矢 = 3;\ 弦 = 4\)

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(矢, 弦) = (3, 8)
(R, r, x, y, a) = (弦^2/(8*矢) + 矢/2, 矢*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))), 弦*sqrt(-sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))/(2*sqrt(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))), 弦^2/(8*矢) - 矢/2, sqrt(矢)*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/2)
# (R, r, x, y, a) = [5, 1, 2.5, 2, 1.8]
@printf("R = %g; r = %g; x = %g; y = %g; a = %g\n", R, r, x, y, a)
@printf("矢 = %g; 弦 = %g\n", R - y, sqrt(R^2 - y^2))
θ = atand(y, 弦/2)
plot()
circle(0, 0, R, beginangle=θ, endangle=181-θ)
circle(0, y + r, r, :green)
circle(x, y + r, r, :green)
circle(-x, y + r, r, :green)
plot!([-a, 0, a], [y, R, y], color=:magenta, lw=0.5)
segment(-弦/2, y, 弦/2, y, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
point(0, R, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, y, " y", :blue)
point(弦/2, y, "(弦/2,y) ", :blue, :right, :top, delta=-delta/2)
point(a, y, "(a,y) ", :blue, :center, :top, delta=-delta/2)
point(0, y + r, " y+r", :green, :left, :vcenter)
point(x, y + r, "(x,y+r)", :green, :center, :top, delta=-delta/2)
end
end;