和算図形問題あれこれ - 埼玉県加須市騎西での算額展示会（氷川神社の復元算額より）
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キーワード：円2個，半円，四分円，正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
正方形の中に四分円 2 個，半円，大円，小円 をそれぞれ 1 個が入っている。大円の直径が 1 寸のとき，正方形の一辺の長さ，小円の直径を求めよ。
正方形の左下の頂点を原点におき，一辺の長さを \(2a \)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (a,\ a + r_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ y_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive, x2::positive, y2::positive
eq1 = a^2 + (a + r1)^2 - (2a - r1)^2
eq2 = (2a - x2)^2 + y2^2 - (2a - r2)^2
eq3 = (x2 - a)^2 + (2a - y2)^2 - (a - r2)^2
eq4 = x2^2 + y2^2 - (2a + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (a, r2, x2, y2))[1]
(3*r1, 3*r1*(26 - sqrt(-52*sqrt(3)*sqrt(19 - 8*sqrt(3)) - 24*sqrt(3) + 733))/13, 3*r1*(2*sqrt(57 - 24*sqrt(3)) + 13)/13, 6*r1*(sqrt(3) + 9)/13)
正方形の一辺の長さは大円の半径の 6 倍である。
小円の半径は大円の半径の \(3(4\sqrt{3} - 3)/3\) 倍である。
したがって，大円の直径が 1 寸のとき，正方形の一辺の長さは 3 寸，小円の直径は 0.9065084377558866 寸である。
res[2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
3*r1*(-3 + 4*sqrt(3))/13
res[2].evalf() |> println
0.906508437755886*r1
その他のパラメータは以下の通り。
\(r_1 = 0.5;\ a = 1.5;\ r_2 = 0.453254;\ x_2 = 2.40651;\ y_2 = 2.47663\)
\(小円の直径 = 0.906508;\ 正方形の一辺の長さ = 3\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = 1/2
(a, r2, x2, y2) = (3*r1, 3*r1*(26 - sqrt(-52*sqrt(3)*sqrt(19 - 8*sqrt(3)) - 24*sqrt(3) + 733))/13, 3*r1*(2*sqrt(57 - 24*sqrt(3)) + 13)/13, 6*r1*(sqrt(3) + 9)/13)
@printf("r1 = %g; a = %g; r2 = %g; x2 = %g; y2 = %g\n", r1, a, r2, x2, y2)
@printf("小円の直径 = %g; 正方形の一辺の長さ = %g\n", 2r2, 2a)
plot([0, 2a, 2a, 0, 0], [0, 0, 2a, 2a, 0], color=:black, lw=1)
circle(0, 0, 2a, :magenta, beginangle=0, endangle=90)
circle(2a, 0, 2a, :magenta, beginangle=90, endangle=180)
circle(a, 2a, a, :orange, beginangle=180, endangle=360)
circle(a, a + r1, r1, :blue)
circle(x2, y2, r2, :red)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
point(a, 2a, "(a,2a)", :orange, :center, delta=-delta)
point(x2, y2, "小円:r2,(x2,y2)", :red, :center, delta=-delta)
point(a, a + r1, "大円:r1,(a,a+r1)", :blue, :center, delta=-delta)
point(2a, 0, "2a ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
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