長岡高専和算倶楽部オリジナル算額
山田 章，谷口 悠，加藤 祐樹，長谷川 柊太，平田 大成，中山 雅友美，冨樫 瑠美，涌田 和芳: 長岡高専和算倶楽部オリジナル算額について，長岡工業高等専門学校研究紀要，57 巻，p. 41-45，2021.
https://kinpoku.nagaoka-ct.ac.jp/lib/kiyo/vol_57/57_41yamada.pdf
キーワード：正三角形，正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
正三角形に内接する正方形（正方形の3つの頂点が正三角形の 3 つの辺上にある）の一辺の長さが最小になるのはどのようなときか。
正三角形の一辺の長さを \(a\)
正方形の一辺の長さを \(b\)
正方形の4つの頂点座標を \( (x_1,\ 0 ),\ (x_2,\ y_2),\ (x_3,\ y_3),\ (x_4,\ y_4) \)
\( (x_1,\ 0),\ (x_2,\ y_2)\) を結ぶ線分が正三角形の底辺となす角を \(\theta\)° として，
以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a, b, θ, x1, x2, y2, x3, y3, x4, y4
x2 = x1 + b*cosd(θ)
y2 = b*sind(θ)
x3 = x2 - b*sind(θ)
y3 = y2 + b*cosd(θ)
x4 = x1 - b*sind(θ)
y4 = b*cosd(θ)
eq1 = y4/x4 - sqrt(Sym(3))
eq2 = y3/(a - x3) - sqrt(Sym(3))
res = solve([eq1, eq2], (x1, b))
Dict{Any, Any} with 2 entries:
b => sqrt(3)*a/(2*(sin(pi*(θ/180 + 1/3)) + cos(pi*θ/180)))
x1 => a*sin(pi*(θ/180 + 1/6))/(sin(pi*(θ/180 + 1/3)) + cos(pi*θ/180))
正方形の一辺の長さは \(\sqrt{3}/(2(\sin(\pi (\theta/180 + 1/3)) + \cos(\pi \theta /180)))\) である。
\(0 ≦ \theta ≦ 30\) で図を描くと以下のようになる。
pyplot(size=(400, 200), grid=false, aspectratio=:none, label="", fontfamily="IPAMincho")
plot(res[b]/a, xlims=(0, 30), xlabel="θ", ylabel="b")
\(b\) の式の導関数を求め，導関数 = 0 となる \(\theta\) を求め，そのときの \(b\) の値を求める。
正三角形の一辺の長さを \(a\) とすれば，\(\theta\) が 15° のとき，正方形の一辺の長さは最小値 \( (3\sqrt{2} - \sqrt{6})a/4 = 0.448287736084027a\) になる。
solve(diff(res[b]/a))[1] |> println
15
eq = (res[b])(θ => 15) |> simplify
eq |> println
eq(θ => 15).evalf() |> println
-sqrt(6)*a/4 + 3*sqrt(2)*a/4
0.448287736084027*a
a = 1; θ = 15; x1 = 0.366025; b = 0.448288
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = 1
θ = 15
b = sqrt(3)*a/(2*(sin(pi*(θ/180 + 1/3)) + cos(pi*θ/180)))
x1 = a*sin(pi*(θ/180 + 1/6))/(sin(pi*(θ/180 + 1/3)) + cos(pi*θ/180))
@printf("a = %g; θ = %g; x1 = %g; b = %g\n", a, θ, x1, b)
plot([0, a, a/2, 0], [0, 0, √3*a/2, 0], color=:black, lw=0.5)
x2 = x1 + b*cosd(θ)
y2 = b*sind(θ)
x3 = x2 - b*sind(θ)
y3 = y2 + b*cosd(θ)
x4 = x1 - b*sind(θ)
y4 = b*cosd(θ)
plot!([x1, x2, x3, x4, x1], [0, y2, y3, y4, 0], color=:blue, lw=0.5)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
point(x1, 0, "(x1,0) ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(x2, y2, "(x2,y2)", :blue, :left, delta=-delta/2)
point(x3, y3, " (x3,y3)", :blue, :left, :vcenter)
point(x4, y4, " (x4,y4)", :blue, :left, delta=-delta/2)
point(a/2, √3a/2, " (a/2, √3a/2)", :black, :left, :vcenter)
point(a, 0, "a", :black, :left, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
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