宮城県石巻市雄勝町 葉山神社 明治17年(1884)
徳竹亜紀子，谷垣美保: 2021年度の算額調査，仙台高等専門学校名取キャンパス 研究紀要，第 58 号, p.7-28, 2022.
https://www.sendai-nct.ac.jp/natori-library/wp/wp-content/uploads/2022/03/kiyo2022-2.pdf
キーワード：円4個，半円
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
半円内に等円が 4 個入っている。黒い部分の面積（黒積）はいかほどか。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms r0::positive, r::positive, x1::negative, x2::positive,
x3::negative, y3::positive;
@syms r0::positive, r::positive, x1::negative, x2::positive, x3::negative, y3::positive
eq1 = x1^2 + r^2 - (r0 - r)^2
eq2 = (x1 - x3)^2 + (y3 - r)^2 - 4r^2
eq3 = x3^2 + y3^2 - (r0 - r)^2
eq4 = (x2 + 2r)^2 + r^2 - (r0 - r)^2
eq5 = x1 + x2 - 2x3
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (r0, x1, x2, x3, y3))[1] # 1 of 2
(r + sqrt(2)*r*sqrt(sqrt(2) + 2), -r*(1 + sqrt(2)), r*(-1 + sqrt(2)), -r, r + sqrt(2)*r)
等円の半径が 1/2 のとき，
\(r_0 = 1.80656;\ x_1 = -1.20711;\ x_2 = 0.207107;\ x_3 = -0.5;\ y_3 = 1.20711\)
である。
黒積は以下のようにして求めることができる。
扇形 OAB の面積は半径 \(r_0\) の円の 1/4 なので，\(\pi*r_0^2/4 = \pi r(1 + \sqrt{2\sqrt{2} + 4})/4\)
@syms r
r0 = r*(1 + sqrt(2√Sym(2) + 4))
gray = PI*r0^2/4;
水色の三角形 2 個の面積は \( (2r r/2)\cdot 2 = 2r^2\)
cyan = 2r^2;
赤い扇形の中心角は 157.5 度で，2 つ分の面積は \( (\pi r^2 \cdot 157.5/360)\cdot 2 = \pi r^2\cdot(7/8)\)
red = PI*r^2*(7//8);
黄色い扇形の中心角は 135 度で，面積は \(\pi r^2\cdot 135/360 = \pi r^2\cdot (3/8)\)
yellow = PI*r^2*(3//8);
灰色の部分の面積は gray - cyan - red - yellow
S = gray - cyan - red - yellow;
S |> expand |> simplify
r^2*(-2 + sqrt(2)*pi/2 + pi*sqrt(2*sqrt(2) + 4)/2)
等円の半径 r = 1/2 とすると，黒積は 1.08153252024683 である。
@syms r
S(r => 1/2).evalf() |> println
1.08153252024683
術では
\(\sqrt{1/2}\) を「位」とおけば，
\( ( (\sqrt{位 + 1} + 位)\cdot \pi/4 - 1/2)^(2r)^2\) で黒積が求められる。
位 = sqrt(1/2)
円積率 = pi/4
等円の直径 = 1
( (sqrt(位 + 1) + 位)*円積率 - 1/2)*等円の直径^2
1.0815325202468267
描画関数プログラムのソースを見る
function circlef2(ox, oy, r, color=:red; beginangle=0, endangle=360, by=0.5, n=0, alpha=0.4)
n != 0 && (by = (endangle - beginangle) / n)
θ = beginangle:by:endangle
x = r.*cosd.(θ)
y = r.*sind.(θ)
append!(x, [0, x[1]])
append!(y, [0, y[1]])
plot!(ox .+ x, oy .+ y, linecolor=:black, linewidth=0.5, seriestype=:shape, fillcolor=color, alpha=alpha)
end;
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r = 1/2
(r0, x1, x2, x3, y3) = (
r*(1 + sqrt(2√2 + 4)),
r*(-√2 - 1),
r*(√2 - 1),
-r,
r*(1 + √2))
@printf("r0 = %g; x1 = %g; x2 = %g x3 = %g; y3 = %g\n", r0, x1, x2, x3, y3)
plot()
circle(0, 0, r0, :blue, beginangle=0, endangle=180)
circlef2(0, 0, r0, :black, beginangle=22.5, endangle=112.5)
circle(x1, r, r)
circle(x2, r, r)
circlef2(x2, r, r, :orange, beginangle=0, endangle=135, alpha=0.8)
circle(x2 + 2r, r, r)
circlef2(x2 + 2r, r, r, beginangle=22.5, endangle=180, alpha=0.8)
circle(x3, y3, r)
circlef2(x3, y3, r, beginangle=-45, endangle=112.5, alpha=0.8)
segment(0, 0, r0*x3/sqrt(x3^2 + y3^2), r0*y3/sqrt(x3^2 + y3^2))
segment(0, 0, r0*y3/sqrt(x3^2 + y3^2), -r0*x3/sqrt(x3^2 + y3^2))
segment(x2, r, x3, y3)
segment(x2, r, x2 + 2r, r)
segment(0, 0, x2, r)
plot!([0, x2 + 2r, x2, 0], [0, r, r, 0], linewidth=0.5, seriestype=:shape, fillcolor=:cyan, alpha=0.8)
plot!([0, x2, x3, 0], [0, r, y3, 0], linewidth=0.5, seriestype=:shape, fillcolor=:cyan, alpha=0.8)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) / 3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray, lw=0.5)
plot!(ylims=(-0.1r0, r0))
point(r0*x3/sqrt(x3^2 + y3^2), r0*y3/sqrt(x3^2 + y3^2), "A", :blue, :right, :bottom, delta=delta)
point(r0*y3/sqrt(x3^2 + y3^2), -r0*x3/sqrt(x3^2 + y3^2), " B", :blue, :left, :vcenter)
point(0, 0, "O ", :blue, :right, :top, delta=-delta)
point(x1, r, "(x1,r)", :red)
point(x2, r, "(x2,r)", :white, :left, :bottom, delta=delta)
point(x2 + 2r, r, "(x2+2r,r)", :white, :right, :bottom, delta=delta)
point(x3, y3, " (x3,y3)", :white, :left, :vcenter)
end
end;
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