千葉県成田市 成田山新勝寺 明治30年(1897)
米山忠興：等円術（II）：三斜等円術（一般公式），東洋大学紀要 自然科学編，第 50 号，P.107-121, 2006/03.
https://toyo.repo.nii.ac.jp/?action=repository_action_common_download&item_id=2534&item_no=1&attribute_id=18&file_no=1
キーワード：円2個，斜線（界斜），三角形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
三角形内に界斜を引き，2 区分された領域に等円を容れる。中斜，小斜，界斜それぞれが 11 寸，6 寸，4 寸のとき，大斜はいかほどか。
数値が与えられて，求めるものは違うが，算額（その406），算額（その407）と同じである。
大斜，中斜，小斜，界斜を変数名として，
等円の半径と中心座標を \(r, (x_1, r), (x_2, r)\)
三角形の頂点座標を \( (x, y)\)
界斜と大斜の交点座標を \( (a, 0)\) として，以下の連立方程式を立て，nlsolve() により数値解を求める。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms r::positive, a::positive, x::positive, y::positive, x1::positive,
x2::positive, 大斜::positive, 中斜::positive, 小斜::positive, 界斜::positive;
eq1 = (界斜 + 中斜 + a)r + (界斜 + 小斜 + 大斜 - a)r - 大斜*y
eq2 = x^2 + y^2 - 中斜^2
eq3 = (大斜 - x)^2 + y^2 - 小斜^2
eq4 = distance(a, 0, x, y, x1, r) - r^2
eq5 = distance(a, 0, x, y, x2, r) - r^2
eq6 = distance(0, 0, x, y, x1, r) - r^2
eq7 = distance(大斜, 0, x, y, x2, r) - r^2;
# res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7])
function H(u)
(大斜, r, a, x, y, x1, x2) = u
return [
r*(a + 中斜 + 界斜) + r*(-a + 大斜 + 小斜 + 界斜) - y*大斜, # eq1
x^2 + y^2 - 中斜^2, # eq2
y^2 - 小斜^2 + (-x + 大斜)^2, # eq3
-r^2 + (r - y*(a^2 - a*x - a*x1 + r*y + x*x1)/(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2))^2 + (x1 - (x1*(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2) - y*(a*r - a*y - r*x + x1*y))/(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2))^2, # eq4
-r^2 + (r - y*(a^2 - a*x - a*x2 + r*y + x*x2)/(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2))^2 + (x2 - (x2*(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2) - y*(a*r - a*y - r*x + x2*y))/(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2))^2, # eq5
-r^2 + (r - y*(r*y + x*x1)/(x^2 + y^2))^2 + (-x*(r*y + x*x1)/(x^2 + y^2) + x1)^2, # eq6
-r^2 + (r - y*(r*y + x*x2 - x*大斜 - x2*大斜 + 大斜^2)/(x^2 - 2*x*大斜 + y^2 + 大斜^2))^2 + (x2 - (x2*(x^2 - 2*x*大斜 + y^2 + 大斜^2) + y*(r*x - r*大斜 - x2*y + y*大斜))/(x^2 - 2*x*大斜 + y^2 + 大斜^2))^2, # eq7
]
end;
(中斜, 小斜, 界斜) = (11, 6, 4)
iniv = [big"14.0", 1.5, 10, 10.2, 4, 7.5, 11]
res = nls(H, ini=iniv);
println(res);
([15.0, 1.4142135623730951, 9.0, 10.333333333333334, 3.7712361663282534, 8.0, 11.0], true)
中斜, 小斜, 界斜 がそれぞれ 11, 6, 4 寸のとき，大斜 = 15 である。
算額の術では \(大斜 = \sqrt{ (中斜 + 小斜)^2 - 4界斜^2}\) となっており，正しい答えが求まっていることがわかる。
(中斜, 小斜, 界斜) = (11, 6, 4)
sqrt( (中斜 + 小斜)^2 - 4界斜^2)
15.0
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(中斜, 小斜, 界斜) = (11, 6, 4)
(大斜, r, a, x, y, x1, x2) = res[1]
@printf("大斜 = %g; r = %g; a = %g; x = %g; y = %g; x1 = %g; x2 = %g\n", 大斜, r, a, x, y, x1, x2)
plot([0, 大斜, x, 0], [0, 0, y, 0], color=:black, lw=0.5)
circle(x1, r, r)
circle(x2, r, r)
segment(a, 0, x, y, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) / 3 # size[2] * fontsize * 2
point(大斜, 0, " 大斜", :black, :left, :bottom, delta=delta)
point(x, y, " (x,y)", :black, :left, :vcenter, delta=-delta)
point(x1, r, "(x1,r)", :red, :center, delta=-delta)
point(x2, r, "(x2,r)", :red, :center, delta=-delta)
point(a, 0, " a", :black, :left, :bottom, delta=delta)
point(x/2, 2y/3, "中斜 ", :black, :left, delta=3delta, mark=false)
point( (大斜 + x)/2, 2y/3, "小斜", :black, :left, mark=false)
point( (a + x)/2, 4y/5, " 界斜", :blue, :right, mark=false)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
end
end;
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