福島県田村郡三春町平沢担橋 諏訪神社 大正15年(1926)
和算の館
http://www.wasan.jp/fukusima/miharusuwa.html
キーワード：円3個，斜線，直線上
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
二本の線分に挟まれて，3 個の円がある。大円，中円の径を 4, 2 としたとき，小円の径を求めよ。
「大円，中円，小円の直径（半径）は等比数列である」と言ってしまっては身も蓋もない。
大円の半径と中心座標を \(r_3,\ (x_3,\ r_3)\)
中円の半径と中心座標を \(r_2,\ (x_2,\ r_2)\)
小円の半径と中心座標を \(r_1,\ (x_1,\ r_1)\)
として，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms x1::positive, r1::positive, x2::positive, r2::positive, x3::positive, r3::positive;
# r1: 小円の半径
eq1 = (r2 - r1)/2sqrt(r1*r2) - (r3 - r2)/2sqrt(r2*r3)
ans_r1 = solve(eq1, r1)[2] # 2 of 2
\(\displaystyle \frac{r_{2}^{2}}{r_{3}}\)
\(r_1 = r_2^2/r_3\) である。\(r_1 r_3 = r_2^2\) ということは， \(r_1,\ r_2,\ r_3\) は等比数列をなすということである。
大円，中円の径が 4, 2 のとき，小円の径は 1/2 である。
ans_r1(r2 => 2//2, r3 => 4//2)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
図を描くために，それぞれの円の中心座標を求める。
r1 = r2^2/r3
eq2 = (x3 - x2)^2 + (r3 - r2)^2 - (r3 + r2)^2
eq3 = (r3 - r1)/(x3 - x1) - (r2 - r1)/(x2 - x1)
eq4 = r1/x1 - r2/x2;
res = solve([eq2, eq3, eq4], (x1, x2, x3))[1] # 1 of 2
(-2*r2^(5/2)/(sqrt(r3)*(r2 - r3)), -2*r2^(3/2)*sqrt(r3)/(r2 - r3), -2*sqrt(r2)*r3^(3/2)/(r2 - r3))
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(r2, r3, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = r2^2/r3
(x1, x2, x3) = (2r2^(5/2)/(√r3*(r3 - r2)), 2r2^(3/2)*√r3/(r3 - r2), 2√r2*r3^(3/2)/(r3 - r2))
println("小円の径（直径） = $(2r1)")
plot()
circle(x1, r1, r1)
circle(x2, r2, r2, :blue)
circle(x3, r3, r3, :green)
abline(0, 0, tan(2atan(r3, x3)), x1 - 1.5r1, x3 + r3)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x1, r1, "小円:r1\n(x1,r1)", :red, :center, delta=-delta)
point(x2, r2, "中円:r2,(x2,r2)", :blue, :center, delta=-delta)
point(x3, r3, "大円:r3,(x3,r3)", :green, :center, delta=-delta)
plot!(xlims=(x1 - 1.5r1, x3 + 1.5r3), ylims=(-3delta, 2.1r3))
end
end;
draw(3/2, 4/2, true)
小円の径（直径） = 2.25
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