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センター試験２０２０物理、第１問、問１の改題です。解答は下部に載せました。

問題：長さが $L$ の一様な棒の左端に質量 $M$ の物体をつるし、棒の右端から長さ $x$ だけ離れた点 $O$ で棒をつるすと水平に静止した。棒の断面積を $A$ 、密度を $\rho$ として、物体の質量 $M$ を $L$ 、 $x$ 、 $A$ 、 $\rho$ を用いて表せ。

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解答：

重力加速度を $g$ として、点 $O$ を中心とした力のモーメントの釣り合いを考えると、

$\frac{L - x}{2} \cdot \left( L - x \right) \rho A g + \left( L - x \right) Mg = \frac{x}{2} \cdot x \rho A g$

$\frac{\rho A}{2} \left( L - x \right) ^2 + \left( L - x \right) M = \frac{\rho A}{2} x^2$

$\frac{\rho A}{2} \left( L - x \right) + M = \frac{\rho A}{2} \frac{x^2}{L - x}$

$\therefore M = \frac{\rho A}{2} \left( \frac{x^2}{L - x} - L + x \right) = \frac{\rho A}{2} \left( \frac{ L \left( 2x - L \right) }{L - x} \right)$

余談：

解答の２番目の式より、

$\frac{\rho A}{2} \left( L^2 - 2Lx \right) + \left( L - x \right) M = 0$

$\left( \rho A L + M \right) x = \frac{\rho A L^2}{2} + LM = \frac{ L \left( \rho A L + 2M \right) }{2}$

$\therefore x = \frac{ L \left( \rho A L + 2M \right) }{2 \left( \rho A L + M \right) }$