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問題です。解答は下部に載せました。

問題

密度 $\rho$ 、長さ $r$ 、断面積 $A$ の棒がある。この棒を、床に対して鉛直な方向から $\theta$ だけ回転させたときになされる仕事 $W$ と、 $\frac{dW}{d \theta}$ を求めよ。ただし、重力加速度を $g$ とし、 $0 \leq \theta \leq \pi$ とする。

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解答

$W = \lim _{n \to \infty } \frac{\rho g A r}{n} \sum _{k = 1} ^{n} \frac{ r \left( \left( k - 1 \right) + k \right) }{2n} \cdot \left( 1 - \cos \theta \right)$

$= \rho g A r^2 \cdot \lim _{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum _{k = 1} ^{n} \left( \frac{k}{n} - \frac{1}{2n} \right) \left( 1 - \cos \theta \right)$

$= \rho g A r^2 \cdot \lim _{n \to \infty } \frac{1}{n} \cdot \left( - \frac{1}{2} + \sum _{k = 1} ^{n} \frac{k}{n} \right) \left( 1 - \cos \theta \right)$

$= \rho g A r^2 \cdot \left( \int _0 ^1 u \ du \right) \left( 1 - \cos \theta \right)$

$= \frac{\rho g A r^2 }{2} \cdot \left( 1 - \cos \theta \right)$

$\frac{dW}{d \theta} = \frac{\rho g A r^2 }{2} \sin \theta$

作者:戸田盛和
発売日: 2017/12/21
メディア: Kindle版