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重力下における小球の円運動

力学

問題です。解答は下部に載せました。

問題

空中のある一点につながれた長さ $l$ の糸の先に、質量 $m$ の小球がつながれている。この小球は、糸のつながれた空中の一点を中心に円運動をしている。このとき、小球が最高点に到達したときに、円運動を続けるために必要な速さ $v$ の最小値を求めよ。また、そのときの小球の最下点での速さを求めよ。さらに、そのときの周期 $T$ および回転数 $n$ とそれらの近似値を求めよ。ただし、重力加速度を $g$ 、糸の張力を $N$ とする。また、空気抵抗、糸の質量および小球の大きさは無視できるとする。また、必要であれば、

$\int _0 ^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{3 + 2 \cos \theta}} \fallingdotseq 2.019$

を用いてよい。

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解答

小球が最高点に来た時の力の釣り合いを考えると、

$m \frac{v^2}{l} = mg + N$

$m \frac{v^2}{l} - mg = N$

小球が円運動を続けるためには、張力 $N$ が正の値を取る必要があるから、

$m \frac{v^2}{l} - mg = N \geq 0$

$v \geq \sqrt{lg}$

よって、小球が最高点に到達したときに、円運動を続けるために必要な速さ $v$ の最小値は $\sqrt{lg}$ である。

次に、小球が最高点に到達したときの速さが ${ \displaystyle \sqrt{lg} }$ のときに、小球が最下点に来たときの速さ $V$ について考える。力学的エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2} m V^2 = \frac{1}{2} m \left( \sqrt{lg} \right)^2 + 2mlg$

$V = \sqrt{5lg}$

続いて、周期 $T$ を求めるために、小球が最下点から最高点に到達するまでの過程を考える。下図のように、小球が最下点から $\theta$ ラジアンだけ回転したとき、小球の速さを $u$ とすれば、力学的エネルギー保存則を考えると、

$\frac{1}{2} m \left( \sqrt{5lg} \right)^2 = \frac{1}{2} m u^2 + mg \left( l - l \cos \theta \right)$

$u = \sqrt{lg \left( 3 + 2 \cos \theta \right) }$

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よって、周期 $T$ は、

$T = 2 \int _0 ^{\pi} \frac{l}{u} d \theta$

$= 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int _0 ^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{3 + 2 \cos \theta}}$

${ \displaystyle \fallingdotseq 4.038 \sqrt{\frac{l}{g}} }$

また、回転数 $n$ は、

$n = \frac{1}{T}$

$= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{ \frac{g}{l}} \frac{1}{\int _0 ^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{3 + 2 \cos \theta}}}$

$= \frac{1}{4.038} \cdot \sqrt{ \frac{g}{l}}$

作者:兵頭俊夫
発売日: 2001/03/25
メディア: 単行本（ソフトカバー）

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