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ひっくり返して足すと値がそろう並び方

数列

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

{ \displaystyle n } を正の整数とする． { \displaystyle n } 以下の正の整数を横一列に並べた列の集合を  { \displaystyle L_n } とする．ただし， { \displaystyle n } 以下の正の整数の並べ方は問わないものとする． { \displaystyle L_n } の元  { \displaystyle a } を { \displaystyle a = \left( a_1 , a_2 , \ldots , a_n \right) } とおく．ここで， { \displaystyle a_1 , a_2 , \ldots , a_n } は { \displaystyle n } 以下の正の整数であり， { \displaystyle a_i = a_j } ならば， { \displaystyle i = j } を満たしている．このとき， { \displaystyle 1 \leq i \leq n } を満たすすべての { \displaystyle i } について， { \displaystyle a_i + a_{n+1-i} = n+1 } が成り立つ { \displaystyle L_n } の元  { \displaystyle a } の個数を各 { \displaystyle n } について求めよ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

・ { \displaystyle n } が偶数の場合

{ \displaystyle n = 2m } とおく．ここで， { \displaystyle m } は正の整数である．題意を満たす  { \displaystyle L_n } の元  { \displaystyle a } の個数を  { \displaystyle b_m } とおくと， { \displaystyle b_{m+1} = 2 \left( m+1 \right) b_m } が成り立つ． { \displaystyle m = 1 } のとき，すなわち， { \displaystyle n = 2 } のとき，題意を満たす  { \displaystyle L_2 } の元は  { \displaystyle \left( 1,2 \right) , \left( 2,1 \right) } の２個であるから， { \displaystyle b_1 = 2 } である．よって， { \displaystyle b_m = 2^m \cdot m! } が成り立つ．

・ { \displaystyle n } が奇数の場合

題意を満たす  { \displaystyle L_n } の元は列の真ん中が  { \displaystyle \frac{n+1}{2} } で固定される．よって，題意を満たす  { \displaystyle L_n } の元の個数は，題意を満たす  { \displaystyle L_{n-1} } の元の個数に等しい．よって， { \displaystyle n = 2m + 1 } とおけば， { \displaystyle b_m = 2^m \cdot m! } が成り立つ．ここで， { \displaystyle m \geq 0 } であり， { \displaystyle m } は整数である．

 

 

 


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