https://put3y19ea1n0r9er.hatenablog.com/entry/2019/12/04/144459

有名な問題を少し拡張しました．解答は下部に載せました．

問題

数列

$a_n = \frac{1}{n^2 + \left( 2p + 1 \right) n + p \left( p + 1 \right) }$

（ただし， $p$ は任意の定数）の第１項から第ｎ項までの和 $S_n$ を求めよ．

また， $\lim _{n \to \infty} S_n$ を求めよ．

解答

$S_n = \sum ^n _{k=1} \frac{1}{k^2 + \left( 2p + 1 \right) k + p \left( p + 1 \right) }$

$= \sum ^n _{k=1} \frac{1}{ \left( k + p \right) \left( k + p + 1 \right) }$

$= \sum ^n _{k=1} \left( \frac{1}{k + p} - \frac{1}{ k + p + 1} \right)$

$= \frac{1}{1 + p} - \frac{1}{ n + p + 1}$

$\lim _{n \to \infty} S_n = \frac{1}{1 + p}$