https://put3y19ea1n0r9er.hatenablog.com/entry/2019/11/01/233811

有名な問題です．解答は下部に載せました．

問題

複素数 $z$ について， $z + \frac{r^2}{z}$ が実数となる範囲を複素数平面に図示せよ．ただし， $r$ は任意の実数定数とする．

解答

$z = x + iy$ とおく．ただし， $i$ は虚数単位とする．

$z + \frac{r^2}{z} = x + iy + \frac{r^2}{x + iy}$

$= x + iy + \frac{r^2 \left( x - iy \right) }{x^2 + y^2}$

$= x + \frac{r^2 x}{x^2 + y^2} + i \left( y - \frac{r^2 y }{x^2 + y^2} \right) \ \ \ \ldots(1)$

$(1)$ 式が実数となることから，次式が成り立つ．

$y - \frac{r^2 y }{x^2 + y^2} = 0 \ \ \ \ldots(2)$

$(2)$ 式より，次式が成り立つ．

$x^2 + y^2 = r^2 \ \ \ \ldots(3)$

よって，求める範囲は下図の実線部分である．

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