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等角写像の練習問題

微分複素数

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

$z = x + iy$ とする．ただし， $i$ は虚数単位であり， $x$ ， $y$ はいずれも任意の実数とする． $z$ 平面上の４つの直線 $l_1 : y = 0$ ， $l_2 : x = 1$ ， $l_3 : y = 1$ ， $l_4 : x = 0$ が関数 $w = z^2$ によってそれぞれ $w$ 平面上の曲線 $l'_1$ ， $l'_2$ ， $l'_3$ ， $l'_4$ に写されるとする．このとき，次の問いに答えよ．

１．曲線 $l'_1$ ， $l'_2$ ， $l'_3$ ， $l'_4$ をそれぞれ求めよ．

２． $x = 1, y = 0$ のとき，曲線 $l'_1$ と曲線 $l'_2$ は $w$ 平面上で直角に交わることを示せ．

３． $x = 1, y = 1$ のとき，曲線 $l'_2$ と曲線 $l'_3$ は $w$ 平面上で直角に交わることを示せ．

解答

１．

$w = z^2 = \left( x + iy \right) ^2 = x^2 - y^2 + i \cdot 2xy \ \ \ \ldots(1)$

よって，曲線 $l'_1$ と $l'_4$ はいずれも $w$ 平面上において，次式で表される．ただし， $w = a + ib$ とし， $a$ ， $b$ はいずれも任意の実数とする．

$b = 0 \ \ \ \ldots(2)$

続いて，曲線 $l'_2$ は $w$ 平面上において，次の二つの式で表される．

$a = 1 - y^2 \ \ \ \ldots(3)$

$b = 2y \ \ \ \ldots(4)$

$(3)$ 式と $(4)$ 式より，曲線 $l'_2$ は次の陽関数で表せる．

$b = \pm 2 \sqrt{1 - a} \ \ \ \ldots(5)$

続いて，曲線 $l'_3$ は $w$ 平面上において，次の二つの式で表される．

$a = x^2 - 1 \ \ \ \ldots(6)$

$b = 2x \ \ \ \ldots(7)$

$(6)$ 式と $(7)$ 式より，曲線 $l'_3$ は次の陽関数で表せる．

$b = \pm 2 \sqrt{1 + a} \ \ \ \ldots(8)$

２．

$(5)$ 式を両辺 $a$ で微分すると，次式となる．

$\frac{db}{da} = \pm \frac{1}{ \sqrt{1 - a}} \ \ \ \ldots(9)$

$(3)$ 式， $(9)$ 式より，次式が成り立つ．

$\lim _{y \to 0} \frac{db}{da} = \lim _{a \to 1} \frac{db}{da} = \pm \infty \ \ \ \ldots(10)$

$(10)$ 式より，曲線 $l'_2$ の $x = 1, y = 0$ における接線の傾きは $\pm \infty$ である．

一方，曲線 $l'_1$ の $x = 1, y = 0$ における接線の傾きは０である．

したがって， $x = 1, y = 0$ のとき，曲線 $l'_1$ と曲線 $l'_2$ は $w$ 平面上で直角に交わる．

３．

$x = 1, y = 1$ において， $(5)$ 式より曲線 $l'_2$ は次式で表される．

$b = 2 \sqrt{1 - a} \ \ \ \ldots(11)$

$(11)$ 式を両辺 $a$ で微分すると，次式となる．

$\frac{db}{da} = - \frac{1}{ \sqrt{1 - a}} \ \ \ \ldots(12)$

よって， $(3)$ 式， $(12)$ 式より，次式が成り立つ．

$\lim _{y \to 1} \frac{db}{da} = \lim _{a \to 0} \frac{db}{da} = - 1 \ \ \ \ldots(13)$

$(13)$ 式より，曲線 $l'_2$ の $x = 1, y = 1$ における接線の傾きは $- 1$ である．

一方， $x = 1, y = 1$ において， $(8)$ 式より曲線 $l'_3$ は次式で表される．

$b = 2 \sqrt{1 + a} \ \ \ \ldots(14)$

$(14)$ 式を両辺 $a$ で微分すると，次式となる．

$\frac{db}{da} = \frac{1}{ \sqrt{1 + a}} \ \ \ \ldots(15)$

よって， $(6)$ 式， $(15)$ 式より，次式が成り立つ．

$\lim _{x \to 1} \frac{db}{da} = \lim _{a \to 0} \frac{db}{da} = 1 \ \ \ \ldots(16)$

$(16)$ 式より，曲線 $l'_3$ の $x = 1, y = 1$ における接線の傾きは $1$ である．

したがって， $x = 1, y = 1$ のとき，曲線 $l'_2$ と曲線 $l'_3$ は $w$ 平面上で直角に交わる．

出版社/メーカー: 森北出版
発売日: 1977/02
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