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奇数の１，２，４乗をそれぞれ２，４，１６で割った余り

整数論

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

１．奇数を２で割った余りは１であることを示せ．

２．奇数の２乗を４で割った余りは１であることを示せ．

３．奇数の４乗を１６で割った余りは１であることを示せ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

奇数 { \displaystyle n } を { \displaystyle n = 2 k - 1 \ \ \ \left( k = 1, 2, \ldots \right) } と表す．

１．題意を示すためには， { \displaystyle n - 1 } を２で割ったものが整数であることを示せばよい．

{ \displaystyle \frac{n - 1}{2} = \frac{2 k - 2}{2} = k - 1 \ \ \ \ldots(1) }

{ \displaystyle (1) } 式は整数である．

 

２．題意を示すためには， { \displaystyle n^2 - 1 } を４で割ったものが整数であることを示せばよい．

{ \displaystyle \frac{n^2 - 1}{4} = \frac{ \left( 2 k -1 \right) ^2 - 1}{4} }

                { \displaystyle = \frac{ 4 k^2 - 4 k}{4} }

                { \displaystyle = k^2 - k \ \ \ \ldots(2) }

{ \displaystyle (2) } 式は整数である．

 

３．題意を示すためには， { \displaystyle n^4 - 1 } を１６で割ったものが整数であることを示せばよい．

{ \displaystyle \frac{n^4 - 1}{16} = \frac{ \left( 2 k -1 \right) ^4 - 1}{16} }

                { \displaystyle = \frac{ 16 \left( k^4 - 2 k^3 \right) + 8 k \left( 3 k - 1 \right)}{16} \ \ \ \ldots(3) }

ここで， { \displaystyle k \left( 3 k - 1 \right) } は偶数であるから， { \displaystyle 8 k \left( 3 k - 1 \right) } は１６の倍数である．よって， { \displaystyle (3) } 式は整数である．

 

 

 


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