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固定されたレール上を動く質点の重力場における運動

微分方程式力学

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関数 $y=f(x)$ 上の一点 $\left( x_0, y_0 \right)$ に置いた質点 $P$ が関数 $y=f(x)$ 上を力学的エネルギー保存則を満たしながら動くとします．ただし，関数 $y=f(x)$ の最小値 $\left( x_m, y_m \right)$ において，位置エネルギーは０とします．質点 $P$ の座標を $\left( x(t), y(t) \right)$ とすると，力学的エネルギー保存則から次式が成り立ちます．

$\left( \frac{dx(t)}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy(t)}{dt} \right) ^2 + 2g \left( y(t) - y_m \right) = 2g \left( y_0 - y_m \right) \ \ \ \ldots (1)$

ここで， $g$ は重力加速度です．

また，質点 $P$ の速度を $v$ とおくと，次式が成り立ちます．

$v^2 = \left( \frac{dx(t)}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy(t)}{dt} \right) ^2 = 2g \left( y_0 - y(t) \right) \ \ \ \ldots (2)$

次に，一例として， $y= x^2$ のとき， $(1)$ 式から ${ \displaystyle \frac{dx(t)}{dt}, \frac{dy(t)}{dt} }$ を求めてみます．

$(1)$ 式に $y(t) = {x(t)}^2$ ，および $y_m = 0$ を代入すると，次式になります．

${ \displaystyle \left( \frac{dx(t)}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{d {x(t)}^2}{dt} \right) ^2 + 2g {x(t)}^2 = 2g y_0 \ \ \ \ldots(3) }$

ここで，合成関数の微分法より，次式が成り立ちます．

$\left( \frac{d {x(t)}^2 }{dt} \right) ^2 = \left( \frac{d {x(t)}^2 }{dx(t)} \cdot \frac{d x(t)}{dt} \right) ^2$

$= \left( 2x(t) \frac{dx(t)}{dt} \right)^2$

$= 4 {x(t)}^2 \left( \frac{d x(t)}{dt} \right) ^2 \ \ \ \ldots(4)$

$(4)$ 式を $(3)$ 式に代入して整理すると，次式となります．

$\frac{dx(t)}{dt} = \pm \sqrt{ \frac{2g \left( y_0 - {x(t)}^2 \right)}{1+4 {x(t)}^2}} \ \ \ \ldots(5)$

また， $(4)$ 式と $(5)$ 式より，次式が成り立ちます．

$\frac{dy(t)}{dt} = \frac{d {x(t)}^2 }{dt} = \pm 2 x(t) \sqrt{ \frac{2g \left( y_0 - {x(t)}^2 \right)}{1+4 {x(t)}^2}} \ \ \ \ldots(6)$

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$g=9.8, y_0 = 100, x_0 = -10$ としたときの ${ \displaystyle \frac{dx(t)}{dt}, \frac{dy(t)}{dt}, v }$ をそれぞれプロットしたもの

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