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x軸，y軸と2本の直線で囲まれる三角形の面積

平面図形

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

座標平面上に直線 { \displaystyle L_1 : y = m_1 x } と直線  { \displaystyle L_2 : y = m_2 x + l } がある．ここで， { \displaystyle m_1 \gt 0 } ， { \displaystyle m_2 \lt 0 } ， { \displaystyle l \gt 0 } とする． { \displaystyle L_1 } と  { \displaystyle L_2 } の交点から  { \displaystyle X } 軸上に垂線 { \displaystyle L_3 } を下ろす． { \displaystyle X } 軸と  { \displaystyle L_2 } および  { \displaystyle L_3 } で囲まれた部分の面積を  { \displaystyle S_1 } ， { \displaystyle X } 軸と  { \displaystyle L_1 } および  { \displaystyle L_3 } で囲まれた部分の面積を  { \displaystyle S_2 } ， { \displaystyle Y } 軸と  { \displaystyle L_1 } および  { \displaystyle L_2 } で囲まれた部分の面積を  { \displaystyle S_3 } とする．このとき，次の問いに答えよ．

１． { \displaystyle S_1 = S_2 } となるとき， { \displaystyle m_1 } を  { \displaystyle m_2 } の式で表せ．

２． { \displaystyle S_1 = S_3 } となるとき， { \displaystyle m_1 } を  { \displaystyle m_2 } の式で表せ．

 

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解答

１．原点を { \displaystyle O } ， { \displaystyle L_1 } と  { \displaystyle L_2 } の交点を { \displaystyle P } ， { \displaystyle L_2 } と { \displaystyle X } 軸の交点を { \displaystyle Q } とする． { \displaystyle S_1 = S_2 } となるのは，三角形 { \displaystyle OPQ } が二等辺三角形となるときである．よって，

{ \displaystyle m_1 = - m_2 }

２．点  { \displaystyle P } の  { \displaystyle X } 座標を  { \displaystyle X_p } とおくと，次が成り立つ．

{ \displaystyle m_1 X_p = m_2 X_p + l }

{ \displaystyle X_p = \frac{l}{m_1 - m_2} }

また，点  { \displaystyle P } の  { \displaystyle Y } 座標を  { \displaystyle Y_p } とおくと，次が成り立つ．

{ \displaystyle Y_p = \frac{m_1 l}{m_1 - m_2} }

また，点  { \displaystyle Q } の  { \displaystyle X } 座標を  { \displaystyle X_q } とおくと，次が成り立つ．

{ \displaystyle X_q = - \frac{l}{m_2} }

よって，

{ \displaystyle S_1 = \frac{1}{2} \cdot \left( X_q - X_p \right) \cdot Y_p }

      { \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \left( - \frac{l}{m_2} - \frac{l}{m_1 - m_2} \right) \cdot \frac{m_1 l}{m_1 - m_2} }

      { \displaystyle = - \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1 l}{m_2 \left( m_1 - m_2 \right)}  \cdot \frac{m_1 l}{m_1 - m_2} }

      { \displaystyle = - \frac{1}{2 m_2} \cdot \left( \frac{m_1 l}{m_1 - m_2} \right) ^2 }

{ \displaystyle S_3 = \frac{1}{2} \cdot l \cdot X_p } 

      { \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{l}{m_1 - m_2} }

      { \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{l^2}{m_1 - m_2} }

従って， { \displaystyle S_1 = S_3 } となるとき，次式が成り立つ．

{ \displaystyle - \frac{1}{2 m_2} \cdot \left( \frac{m_1 l}{m_1 - m_2} \right) ^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{l^2}{m_1 - m_2} }

{ \displaystyle - m_1 ^ 2 = m_2 \left( m_1 - m_2 \right) }

{ \displaystyle m_1 ^ 2 - m_1 m_2 + m_2 ^2 = 0 }

{ \displaystyle m_1 = \frac{- m_2 + \sqrt{{m_2} ^2 + 4 {m_2} ^2}}{2} }

{ \displaystyle m_1 = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} m_2 }

 

補足

最後の式に現れる { \displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2} } は黄金比です．

 

 

 


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