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相似な図形のくりぬき

平面図形 空間図形

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

 

１．相似な平面図形 { \displaystyle D } と  { \displaystyle D' } がある． { \displaystyle D } から  { \displaystyle D' } をくりぬいた図形の面積が  { \displaystyle D' } の面積の  { \displaystyle k } 倍であるとき（ただし， { \displaystyle k \gt 0 } ）， { \displaystyle D } と  { \displaystyle D' } の相似比を求めよ．

２．相似な空間図形 { \displaystyle E } と  { \displaystyle E' } がある． { \displaystyle E } から  { \displaystyle E' } をくりぬいた図形の体積が  { \displaystyle E' } の体積の  { \displaystyle l } 倍であるとき（ただし， { \displaystyle l \gt 0 } ）， { \displaystyle E } と  { \displaystyle E' } の相似比を求めよ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

１． { \displaystyle D } と  { \displaystyle D' } の面積をそれぞれ  { \displaystyle S } と  { \displaystyle S' } とおくと，次式が成り立つ．

{ \displaystyle S - S' = k S' }

{ \displaystyle S = \left( k + 1 \right) S' }

よって， { \displaystyle D } と  { \displaystyle D' } の相似比は  { \displaystyle \sqrt{k + 1} : 1 } となる．

２． { \displaystyle E } と  { \displaystyle E' } の体積をそれぞれ  { \displaystyle V } と  { \displaystyle V' } とおくと，次式が成り立つ．

{ \displaystyle V - V' = l V' }

{ \displaystyle V = \left( l + 1 \right) V' }

よって， { \displaystyle E } と  { \displaystyle E' } の相似比は  { \displaystyle \left( l + 1 \right) ^{ \frac{1}{3} } : 1 } となる．

 

 

 


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