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正三角形に正方形を繰り返し内接させて得られる無限個の正三角形

平面図形 数列

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題：１辺の長さが１の正三角形に正方形を内接させる．ただし，正方形の４辺のうち１辺は外接している正三角形の１辺上にあるとすると，この辺の対辺と外接している正三角形の２辺からなる三角形は正三角形となる．この正三角形に対して正方形を上記の方法で内接させると，再び新たな正三角形が得られる．以上の方法を繰り返して得られる正三角形の１辺の長さについて，一番外側の１辺の長さが１の正三角形の１辺の長さを { \displaystyle L_1 = 1 } とし，以後正三角形の１辺の長さを長いものから順に { \displaystyle L_2 , L_3 , \cdots  } とする．このとき， { \displaystyle n } 番目に長い正三角形の１辺の長さ { \displaystyle L_n } を { \displaystyle n } の式で表せ．

 

f:id:todayf0rmu1a:20190908001229p:plain

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答：

f:id:todayf0rmu1a:20190908003704p:plain

 

上図より，

{ \displaystyle \frac{L_n}{2} - \frac{L_{n+1}}{ \tan \frac{ \pi }{3} } = \frac{L_{n+1} }{2} }

{ \displaystyle L_n - \frac{2 \sqrt{3} }{3} L_{n+1} = L_{n+1} }

{ \displaystyle L_{n+1} = \frac{3}{3 + 2 \sqrt{3} } L_n }

上式より， { \displaystyle L_n } は初項１，公比 { \displaystyle \frac{3}{3 + 2 \sqrt{3} } } の等比数列だから，

{ \displaystyle L_n = \left( \frac{3}{3 + 2 \sqrt{3} } \right) ^{n-1} }

 

 

 

 



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