運命の歯車

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

２つの円 ， が接している． の半径を ， の半径を とする．点 と点 は２つの円の接点を同時に出発し， は  上を時計回りに， は  上を反時計回りに動き続ける． と  が動く速さは等しく，その速さを とする．このとき，次の問いに答えよ．

１． と をいずれも有理数とする． と  が２つの円の接点を出発してから，はじめてもう一度円の接点に同時に戻ってくる時刻  を求めよ．

２． を有理数， を無理数とする． と  は２つの円の接点を出発してから，二度と円の接点に同時に戻ってくることはないことを証明せよ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

１． と が２つの円の接点に同時に戻ってくる時刻を とすると，次式が成り立つ．

ここで，  および は正の整数である． より，次式が成り立つ．

ここで， と  はいずれも正の有理数であるから， は互いに素な正の整数  と  を用いて

と表すことができる． と  は  および を満たす正の整数の組 の中で および が最も小さくなる組である．ゆえに， ， のとき， は最小値をとる．よって，

 

２． は有理数， は無理数であるから， の左辺は無理数となり，このとき  および を満たす正の整数の組  は存在しない．よって， と  は２つの円の接点を出発してから，二度と円の接点に同時に戻ってくることはない．

 

注：問題文に回る方向の条件をつけたのは歯車をイメージしてもらうとわかりやすいかなと思ったからです．回る方向の指定がなくても，解答は同じになります．