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あめ玉問題

微分方程式

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

{ \displaystyle S = 4 \pi r^2 } ，{ \displaystyle V = \frac{4}{3} \pi r^3 } とする．このとき，次の問いに答えよ．

１．微分方程式 { \displaystyle \frac{dV}{dt} = - \alpha S } を解き，{ \displaystyle r } ，{ \displaystyle S } ，{ \displaystyle V } をいずれも { \displaystyle t } の式で表せ．ただし，{ \displaystyle t=0 } のとき，{ \displaystyle r=r_0 } とし，{ \displaystyle \alpha } ＞ { \displaystyle 0 } とする．

２．{ \displaystyle r=0 } のとき，{ \displaystyle t } の値を求めよ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

１．

{ \displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = - \alpha \cdot 4 \pi r^2 }

よって，

{ \displaystyle \frac{dr}{dt} = - \alpha }

{ \displaystyle r = - \alpha t + C  }  （ { \displaystyle C  } は積分定数）

{ \displaystyle t=0  } のとき，{ \displaystyle r= r_0  } だから，{ \displaystyle C= r_0  } ．よって，

{ \displaystyle r=- \alpha t + r_0  \ \ldots (1)}

{ \displaystyle S= 4 \pi \left( - \alpha t + r_0 \right) ^2  \ \ldots (2) }

{ \displaystyle V= \frac{4}{3} \pi \left( - \alpha t + r_0 \right) ^3 \ \ldots (3) }

 

２．{ \displaystyle (1) } より，{ \displaystyle r=0 } のとき，{ \displaystyle t= \frac{r_0}{ \alpha } } ．

 

余談

あたりまえですが，実際にあめ玉を舐めていても，溶けきるまでの時刻があめ玉の半径に比例するとは限らないです．上の式を実測値に適用するなら，おそらく，口内の温湿度や，唾液の量，唾液の交換速度，唾液中の砂糖濃度，舌の運動なんかに依存して { \displaystyle \alpha  } を変化させる必要があると思います．

 

 

 


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