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直角三角形の三辺を半径とする３つの円の面積について

平面図形

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

下図のように直角三角形の三辺を半径とする３つの円を描き，半径が短い方から順に { \displaystyle O_1 } ，{ \displaystyle O_2 } ，{ \displaystyle O_3 } とする．{ \displaystyle O_1 } ，{ \displaystyle O_2 } ，{ \displaystyle O_3 } の面積をそれぞれ { \displaystyle S_1 } ，{ \displaystyle S_2 } ，{ \displaystyle S_3 } とするとき，{ \displaystyle S_3 = S_1 + S_2 } が成り立つことを示せ．

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解答

直角三角形の三辺の長さを { \displaystyle a } ，{ \displaystyle b } ，{ \displaystyle c }（ただし，{ \displaystyle a } ＜ { \displaystyle b } ＜ { \displaystyle c } ）とする．

{ \displaystyle S_1 + S_2 = \pi a^2 + \pi b^2 = \pi ( a^2 + b^2 ) }

{ \displaystyle S_3 = \pi c^2 }

ここで，三平方の定理より { \displaystyle a^2 + b^2 = c^2 } であるから，

{ \displaystyle S_3 = \pi ( a^2 + b^2 ) = S_1 + S_2 }

 

 

 


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