万有引力により固定質点へと近づく質点の運動（１次元）

ニュートンの運動方程式を用いて，万有引力により固定質点へと近づく質点の運動（１次元）を表す式を導出します．

 

固定質点を とし，万有引力により に近づく質点を とします．右向きを正とした座標をとり， の座標を ， の座標を とします．

は万有引力により に左向きに引っ張られるため，次の運動方程式が成り立ちます．

ここで， は万有引力定数， は の質量， は の質量， は時刻を表します． は両辺を で割ることで次式になります．

は２階非線形常微分方程式です．筆者が一般的な解法を知らないため，ここでは微分方程式を眺めて解を想像する方法を取ります．

まず，微分方程式の階数２と右辺の の指数２に注目します．これから， は で２度微分すると，元の関数のー２乗を生成するような関数であるとわかります．ここで，例えば次のような関数を想像します．

ここで， はいずれも定数です． を で２度微分して，元の関数のー２乗を生成するためには，まず について次式が成り立つ必要があります．

で求めた の値を に代入して で２度微分してみます．

 

ここで， をもう一度眺めると， が を満たすためには次式が成り立つ必要があるとわかります．

なお，上の式で の符号を－に限定したのは， を の増加に伴い減少する関数とするためです．

残る定数 を定めるために初期条件を設定します．初期条件として， のとき を設定します．すると，次式が成り立ちます．

以上で ， ， がすべて定まったので， の解は次式で表されます．

また， に を代入すると， が に到達する時刻 が求まります．

から， が に到達する時刻は の 乗に比例して遅れることがわかります．

 

上図は ， （地球の質量）， として を計算した結果です．空気抵抗がなければ，高度１０００kmから落下しても３０秒とかからず地表に到達してしまうようです．